第一章 7.3 正切函数的图象与性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

7．3　正切函数的图象与性质 [素养目标]　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．　2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．　3.培养学生数学抽象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　正切函数的图象及应用 [基础梳理] 1．正切曲线：正切函数的图象称作正切曲线． 2．渐近线：正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线称作正切曲线各支的渐近线． 3．正切函数的图象 [互动探究] 　设函数f(x)＝tan. (1)作出函数y＝f(x)在一个周期内的简图； (2)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心； (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解：(1)令－＝0，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－. 所以函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝.从而得函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)． (2)由－≠＋kπ(k∈Z)， 得x≠＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)的定义域是{x∈R|x≠＋2kπ，k∈Z}． 因为ω＝，所以周期T＝＝＝2kπ，k∈Z. 由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋π(k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是，k∈Z. (3)由－1≤tan≤ ， 得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)． 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)． 所以不等式－1≤f(x)≤ 的解集是. 1．作正切函数的图象时，先画一个周期的图象，再把这一图象向左、右平移，从而得到正切函数的图象，通过图象的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0，0)，，两线是直线x＝±. 2．如果由y＝f(x)的图象得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图象，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图象；同理只要做出y＝f(x)的图象，令图象“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图象． [跟踪训练] 1．函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的(　　) 解析：C　在上，cos x>0，f(x)＝tan x，所以在上其图象与y＝tan x的图象相同，在和上，cos x<0，f(x)＝－tan x，所以在这两段上其图象是y＝tan x的图象关于x轴的对称图形． 2．求函数f(x)＝tan |x|的定义域与值域，并作其图象． 解：f(x)＝tan |x|＝(k∈Z)， 可知，函数的定义域为，值域为R. 当x≥0时，函数y＝tan |x|在y轴右侧的图象即为y＝tan x的图象不变；当x<0时，y＝tan |x|在y轴左侧的图象为y＝tan x在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象，如图所示(实线部分)． 探究点二　正切函数的性质及应用 [基础梳理] 1．正切函数y＝tan x的性质 解析式 y＝tan x 定义域 值域 R 周期 π 对称 中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z上都是增函数 2.函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是． [互动探究] 角度1　正切函数的单调性 　(1)求函数y＝tan的单调区间及最小正周期． 解：y＝tan＝－tan， 由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－<x<2kπ＋π(k∈Z)， 所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z，周期T＝＝2π，即最小正周期为2π. (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 解：因为tan 2＝tan(2－π)， tan 3＝tan(3－π)， 又因为<2<π，所以－<2－π<0. 因为<3<π，所以－<3－π<0， 显然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在上是单调递增的， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋(k∈Z)，求得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．比较正切值的大小 第一步：运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上； 第二步：运用正切函数的单调性比较大小关系． 角度2　性质的综合应用 　已知f(x)＝－atan x(a≠0)． (1)判断f(x)