第一章 6.3 第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 6．1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 6．2　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 6．3　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 第一课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 [素养目标]　1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．　2.理解φ，ω，A对图象形状的影响．　3.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系．　4.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．　5.培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象的学科素养． 探究点一　用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象 [互动探究] 　已知函数f(x)＝3sin，x∈R，画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图． 解：列表如下： x－ 0 π 2π x f(x) 0 3 0 －3 0 描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图，图象如下： 1．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象． [跟踪训练] 1．已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． 解：f(x)＝cos，列表如下： 2x－ － 0 π π π x 0 π π π π f(x) 1 0 －1 0 图象如图： 探究点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象变换 [基础梳理] 1．ω(ω>0)对y＝sin ωx的图象的影响 函数y＝sin ωx(ω>0且ω≠1)的图象可以看作是把y＝sin x的图象上各点的横坐标都缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的． 即y＝sin x横坐标到原来的倍得y＝sin ωx. 2．φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 (1)函数y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是把y＝sin x图象上的各点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位而得到的．(可简记为左“＋”右“－”) 即y＝sin x平移|φ|个单位得y＝sin(x＋φ)． (2)函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx 图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度得到的． 即y＝sin ωx平移个单位得y＝sin(ωx＋φ)． 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 4．由函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤： [互动探究] 角度1　平移变换 　为了得到函数y＝cos(2x－)的图象，可以将函数y＝cos x的图象上(　　) A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 解析：B　由y＝cos(2x－)＝cos可知，函数y＝cos x的图象每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数y＝cos 2x的图象，再向右平移个单位，得函数y＝cos＝cos(2x－)的图象． 当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． 角度2　伸缩变换 　(1)把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为(　　) A．y＝sin　　 B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析：D　把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin的图象，即函数解析式为y＝sin，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y＝sin的图象，故选D． (2)将函数f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将所得函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的(横坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为________． 解析：f(x)→f(2x)→f(2x)，即g(x)＝f(2x)＝＝sin. 答案：g(x)＝sin 1．三角函数图象伸缩变换的方法 y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)y＝mf(x)y＝mf(nx)＝mAsin(ωnx＋φ)． 2．三角函