第一章 6.3 第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 [素养目标]　1.类比y＝sin x的性质，理解y＝Asin(ωx＋φ)的性质．　2.会利用y＝Asin(ωx＋φ)的图象研究函数性质及应用．　3.培养学生直观想象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　A、ω、φ的意义 [基础梳理] 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)，在这里常数A叫振幅，T＝叫周期，f＝＝叫频率，ωx＋φ叫相位，φ叫初相． 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中ω>0，A>0)的最大值为A＋b，最小值为－A＋b，周期为． [互动探究] 　(1)函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　　) A．4π，－2　　　　　　　 B．4π，2 C．π，2 D．π，－2 解析：B　周期T＝＝4π，振幅为2，故选B． (2)函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是(　　) A．2π，－2， B．4π，－2， C．2π，2，－ D．4π，2，－ 解析：D　y＝－2sin＝2sin，A＝2，T＝＝4π，φ＝－. 首先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A>0，ω>0.　　 [跟踪训练] 1．函数y＝2sin的相位和初相分别为(　　) A．－2x＋，　　　　 B．2x－，－ C．2x＋， D．2x＋， 解析：C　∵y＝2sin ＝2sin ＝2sin， ∴相位和初相分别为2x＋，，故选C． 2．函数y＝－6sin，x∈R的振幅、周期、初相为(　　) A．A＝－6，T＝＝π，φ＝ B．A＝－6，T＝＝π，φ＝－ C．A＝－6，T＝＝π，φ＝π D．A＝6，T＝＝π，φ＝π 解析：D　y＝－6sin＝6sin[π＋]＝6sin， ∴A＝6，T＝＝π，φ＝π. 探究点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 [基础梳理] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性质 定值域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 对称轴 方程 令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求得x＝＋，k∈Z 对称 中心 令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求得(k∈Z) 单调性 递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z求得；递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z求得 [互动探究] 角度1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 　(1)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　) A．　 B．　 C．0　 D．－ 解析：B　由题意知y＝sin＝sin为偶函数，所以＋φ＝kπ＋，即φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时φ＝，故选B． (2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：A　由题设知直线x＝与点分别为函数f(x)图象的对称轴与对称中心， 故＋φ＝＋k1π(k1∈Z)，＋φ＝k2π(k2∈Z)， 于是＝(k2－k1)π－(k1，k2∈Z)，即ω＝4(k2－k1)－2(k1，k2∈Z)，故ω的最小值是2. 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数．　　 角度2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性与最值 　(1)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析：D　由题图可知＝－＝1，所以T＝2，ω＝π， 由题图知f＝0，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，此时f(x)＝cos(πx＋＋2kπ)，k∈Z，令k＝0，则f(x)＝cos(πx＋)，由2kπ≤πx＋≤2kπ＋π，k∈Z，得2k－≤x≤2k＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D． (2)已知函数f(x)＝sin(ωx－)(ω＞0)的图象的两条相邻对称轴间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在区间(－，)上的值域为________． 解析：由题知，f(x)的最小正周期T＝2×＝π，则ω＝2，f(x)＝sin(2x－)，于是g(x)＝sin＝sin(2x＋)， 当x∈(－，)时，2x＋∈(－，)， 故y＝sin(2x＋)在2x＋＝－，即x＝－时，取得最小值，最小值为－， 当2x＋＝，即x＝时，取得最大值，最大值为1， 所以g(x)在区间(－，