第一章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

5．2　余弦函数的图象与性质再认识 [素养目标]　1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数的图象．　2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋b的单调区间及最值．　3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数的大小，能根据图象解简单的三角不等式．　4.培养学生数学抽象、数学运算的学科素养． 探究点一　余弦函数的图象及应用 [基础梳理] 余弦函数图象的画法 (1)平移法 (2)五点法 ①五个关键点． x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 ②画出函数y＝cos x，x∈[0，2π]的简图． ③y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位)得到余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象，此图象叫作余弦曲线． [互动探究] 　作出函数y＝1－cos x在[－2π，2π]上的图象． 解：①列表： x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝1－cos x 1 1 ②作出y＝1－cos x在x∈[0，2π]上的图象．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图象，从而得出y＝1－cos x，在x∈[－2π，2π]上的图象． 如图所示： 作形如y＝Acos x＋b，x∈[0，2π]的图象时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图．　　 [跟踪训练] 1．作出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象． 解：列表： x 0 π 2π －2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x＋3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象． 探究点二　余弦函数的性质及应用 [基础梳理] 余弦函数的性质 余弦函数y＝cos x 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 是周期函数，最小正周期为2π 奇偶性 是偶函数，图象关于y轴对称 单调性 在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上是单调递增的； 在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是单调递减的 对称轴 x＝kπ，k∈Z 对称 中心 ，k∈Z [互动探究] 角度1　求余弦函数的定义域和值域 　(1)求f(x)＝ 的定义域． 解：要使函数有意义，则2cos x＋≥0， ∴cos x≥－， ∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴定义域为(k∈Z)． (2)求下列函数的值域： ①y＝－cos2x＋cos x；②y＝. 解：①y＝－＋. ∵－1≤cos x≤1. ∴当cos x＝时，ymax＝. 当cos x＝－1时，ymin＝－2. ∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是. ②y＝＝－1. ∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3， ∴≤≤1， ∴≤≤4， ∴≤－1≤3，即≤y≤3. ∴函数y＝的值域为. 求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)sin x，cos x的有界性． (2)sin x，cos x的单调性． (3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数． 角度2　余弦函数单调性的应用 　(1)函数y＝3－2cos x的单调递增区间为________． 解析：y＝3－2cos x与y＝3＋2cos x的单调性相反，由y＝3＋2cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)． ∴y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)． 答案：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) (2)比较下列各组数的大小： ①－sin 46°与cos 221°； ②cos与cos. 解：①－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°， cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. 因为180°>139°>136°>0°，且y＝cos x在[0°，180°]上是减函数， 所以cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°. ②cos＝cosπ＝cos ＝cosπ， cos＝cosπ＝cos＝cos. 因为0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数， 所以cosπ<cos， 即cos<cos. 应用余弦函数的性质时一般要结合余弦函数的图象，特别注意余弦函数单调区间、最值、对称性等性质在图象中的体现，解题中要善于利用图象发现函数的性质用于解题． [跟踪训练] 2．求函数f(x)＝的定义域、值域． 解：由2cos x－1≥0知cos x≥，作出y＝cos x