第一章 5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5．1　正弦函数的图象与性质再认识 [素养目标]　1.了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法．　2.掌握“五点法”画正弦函数图象的方法，能利用“五点法”作出简单的正弦曲线．　3.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性．　4.能熟练运用正弦函数的性质解决有关问题．　5.培养学生数学抽象、直观想象、数学运算的学科素养． 探究点一　正弦函数的图象 [基础梳理] 1．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象称作正弦曲线． 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法 ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象； ②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)“五点法” ①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． [互动探究] 　用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象． 解：(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 (2)描点、连线，图象如图． 五点法作图 “五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点及平衡点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状． [跟踪训练] 1．画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图． 解：(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1 (2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1)，五个点． (3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得到函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图，如图所示． 探究点二　正弦函数的性质及应用 [基础梳理] 正弦函数的性质 函数 y＝sin x 图象 定义域 ___R__ 值域 [－1，1] 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 最小正周期为2π 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 单调性 在(k∈Z)上都是增函数，在(k∈Z)上都是减函数 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z [互动探究] 角度1　利用正弦曲线求定义域 　求函数y＝ 的定义域． 解：要使函数有意义，只需2sin x＋≥0. 即sin x≥－.如图所示，在区间上，适合条件的x的取值范围是－≤x≤. 所以该函数的定义域是，k∈Z. 求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图象．　　 角度2　正弦函数的单调性及应用 　(1)求函数y＝2sin的递增区间． 解：y＝2sin＝－2sin. 令z＝x－，则y＝－2sin z. 因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的递增区间，即求sin z的递减区间． 即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)． 所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)． 即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 所以函数y＝2sin的递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)． (2)比较下列各组数的大小： ①sin和sin； ②sin和sin； ③sin和sin； ④sin 194°和cos 160°. 解：①sin ＝sin＝sin. 因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，所以sin<sin，即sin<sin. ②因为－<－<－<，y＝sin x在区间[－，]上单调递增，所以sin>sin. ③sin＝sin＝sin， sin＝sin＝sin. 因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，所以sin<sin，即sin<sin. ④sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. 因为0°<14°<70°<90°，且y＝sin x在[0，]上单调递增，所以sin 14°<sin 70°. 所以－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. 1．用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式． 2．利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法 (1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同