第一章 4.4 诱导公式与旋转-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

4．3　诱导公式与对称 4．4　诱导公式与旋转 [素养目标]　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用．　2.理解诱导公式的推导过程．　3.能运用诱导公式求值、化简与证明．　4.培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　求值问题 [基础梳理] 1．角的对称问题 相关角 终边对称关系 α与π＋α 关于原点对称 α与－α 关于x轴对称 α与π－α 关于y轴对称 α与－α 关于y＝x对称 2.诱导公式 (1)sin(2kπ＋α)＝sin_α，cos(2kπ＋α)＝cos_α(k∈Z)； (2)sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； (3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α； (4)sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α； (5)sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； (6)sin＝cos_α，cos＝－sin_α； (7)sin＝cos_α，cos＝sin_α． 3．诱导公式的记忆方法 (1)α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． (2)±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值符号．简记为：“函数名改变，符号看象限”．诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变．然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． [互动探究] 角度1　给角求值 　求下列三角函数值： (1)sin；(2)cos； (3)cos；(4)cos(－945°)； (5)sin 95°＋cos 175°. 解：(1)sin＝－sin ＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin＝. (2)cos＝cos＝cos ＝cos＝cos＝－cos ＝－. (3)cos＝cos＝cos ＝cos＝－cos＝－cos＝cos＝. (4)cos(－945°)＝cos 945° ＝cos(2×360°＋225°)＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－. (5)sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α转化． (2)“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角． (3)“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得锐角三角函数后求值． 角度2　给值(式)求值 　(1)已知cos(π＋α)＝－，则cos(π－α)＝________． (2)已知cos＝，求cos·sin＝________． 解析：(1)法一：因为cos(π＋α) ＝－cos α＝－，所以cos α＝， 则cos(π－α)＝－cos α＝－. 法二：记π＋α＝x，π－α＝y，问题变为已知cos x求cos y. 显然x＋y＝2π(目的是消去α)， 所以cos y＝cos(2π－x)＝cos(－x) ＝cos x＝－. (2)cos·sin ＝cos·sin ＝－cos·sin ＝－sin ＝－cos＝－. 答案：(1)－　(2)－ 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [跟踪训练] 1．已知cos＝，则sin的值为________． 解析：sin＝sin＝cos(α＋)＝. 答案： 2．求下列三角函数值： (1)sinπ；(2)cos；(3)sin. 解：(1)sinπ＝sin＝sinπ＝sin＝－sin＝－. (2)cos＝cos ＝－cos＝－ ＝sin＝. (3)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin＝. 探究点二　利用诱导公式化简、证明 [互动探究] 角度1　化简三角函数式 　化简下列各式： (1)； (2)cos＋cos(n∈Z)． 解：(1)原式＝＝－1. (2)因为＋＝2nπ(n∈Z)， 所以原式＝cos＋cos[2nπ－] ＝2cos ＝2cos(n∈Z)． ①当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝2cos ＝－2cos(n∈Z)； ②当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时， 原式＝2cos＝2cos. 故原式＝ 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就