第一章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 [素养目标]　1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质．　2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关问题．　3.借助正弦函数、余弦函数的定义理解并掌握正弦、余弦函数值在各象限内的符号．　4.培养学生数学抽象、数学运算的学科素养． 探究点一　正弦、余弦函数的性质 [基础梳理] 正弦函数(y＝sin x) 余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 [－1，1] 最小值 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 最大值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在区间 ，k∈Z上单调递增； 在区间 ，k∈Z上单调递减 在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减； 在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z上单调递增 [互动探究] 角度1　利用正、余弦函数的周期性求值 　求下列三角函数值： (1)cos(－1 050°)； (2)sin. 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°. ∴－1 050°的角与30°的角终边相同． ∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝. (2)∵－＝－4×2π＋. ∴角－与角的终边相同． ∴sin＝sin＝. 在求正弦、余弦函数值的时候，利用正弦、余弦函数的周期性，可以把2π，360°的整数倍直接去掉，把任意角问题转化为0～2π间的角求解，从而方便化简或计算．　　 角度2　正弦、余弦函数的定义域、值域 　(1)求下列函数的定义域： ①y＝ ； ②y＝lg(sin α－)＋. 解：①自变量α应满足2sin α－≥0，即sin α≥. 图中阴影部分就是满足条件的角α的范围， 即. ②由题意知，自变量α应满足不等式组即 图中阴影部分就是满足条件的α的范围，即. (2)求函数y＝cos α的值域． 解：∵y＝cos α在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的， ∴当α＝0时，ymax＝1， 当α＝时，ymin＝cos＝－， ∴y＝cos α的值域是. 1．求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． 2．求正、余弦函数的值域应注意定义域，解题时可借助单位圆结合单调性进行分析．　　 角度3　正弦、余弦函数的单调性 　函数u＝cos α的一个单调递增区间为(　　) A．　　　　　 B．(0，π) C． D．(π，2π) 解析：D　∵u＝cos α的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.令k＝1得[π，2π]，即为u＝cos α的一个单调递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π]，故选D． 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．　　 [跟踪训练] 1．在下列区间中，使v＝sin α为增函数的是(　　) A．[0，π] B． C． D．[π，2π] 解析：C　因为函数v＝sin α的单调递增区间是，k∈Z，故当k＝0时，即为，故选C． 2．已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值． 解：当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2， ∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1； 当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2， ∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 探究点二　正弦、余弦函数值的符号问题 [基础梳理] 三角函数的符号 (1)如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负． 余弦：一四象限正，二三象限负． [互动探究] 　判断下列各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°；(2)sin 240°·sin 300°； (3)cos ·sin π；(4)cos 4·cos 5. 解：(1)因为105°是第二象限角，所以sin 105°>0，又因为230°是第三象限角，所以cos 230°<0，所以sin 105°·cos 230°<0. (2)因为240°是第三象限角，所以sin 240°<0， 又因为300°是第四象限角，所以sin 300°<0， 所以sin 240°·sin 300°>0. (3)因为sin π＝0，所以cos·sin π＝0. (4) 因为4是第三象限角，所以cos 4<0， 又因为5是第四象限角，所以cos 5>0， 所以cos 4·cos 5<0. 1．三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须记熟．可根据定义记．也可按以下口诀记忆：一全正、二正弦、三正切(正切后面学到)，四余弦(是正的)． 2．对于确定