第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 [素养目标]　1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数定义．　2.已知角α终边上一点，会求角α的正弦函数值和余弦函数值．　3.使学生认识事物之间是有联系的，正弦函数、余弦函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式．　4.培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的学科素养． 探究点一　单位圆法求正弦函数值、余弦函数值 [基础梳理] 单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数 [互动探究] 　已知角α的终边交单位圆于点P，则sin α＋cos α＝________． 解析：如图所示，在△OAP中，由勾股定理可得m2＋＝1， 解得m＝±. 当m＝时，sin α＝－，cos α＝， 此时，sin α＋cos α＝；当m＝－ 时，sin α＝－，cos α＝－， 此时sin α＋cos α＝. 答案：或 1．单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 2．已知角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x.　 [跟踪训练] 1．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：B　由正、余弦函数的定义知，sin α＝，cos β＝－，∴sin αcos β＝－. 探究点二　坐标法求正弦函数值、余弦函数值 [基础梳理] 任意角的正弦函数、余弦函数(坐标法) (1)前提：设角α的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x，y)． (2)结论：OQ的长度为r＝，且sin α＝，cos α＝. [互动探究] 　已知角α的终边上一点P(－，m)，且sin α＝m，求sin α与cos α的值． 解：由已知，有m＝， 解得m＝0或m＝±， ①当m＝0时，r＝，cos α＝－1，sin α＝0； ②当m＝时，r＝2，cos α＝＝－， sin α＝＝； ③当m＝－时，r＝2，cos α＝＝－，sin α＝＝－. 1．已知角α的终边上一点P(x，y)，先计算r＝|OP|＝；第二步，求值：由sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)求值． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [跟踪训练] 2．若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________． 解析：∵x＝5，y＝－12， ∴r＝ ＝13， 则sin α＝＝－，cos α＝＝. 答案：－　 3．已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 解：r＝ ＝5|a|， (1)若a>0，则r＝5a，角α在第二象限． sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1. (2)若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， 所以sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 所以2sin α＋cos α的值为1或－1. 探究点三　已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 [互动探究] 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 解：由题意知，cos α≠0. 设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k， y＝－3k，r＝ ＝|k|. (1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，sin α＝＝＝－， ＝＝＝， 所以10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0. (2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝，＝＝＝－， 所以10sin α＋＝10×＋3×(－) ＝3－3＝0. 综上所述，10sin α＋＝0. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝.　　 [跟踪训练] 4．已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α的值． 解：直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)， 则r＝ ＝2，所以sin α＝，cos α＝－. 在第四象限取直线上的点(1，－)， 则r＝ ＝2， 所以sin α＝－，cos α＝. 1．已知角α的终边过点P(1，－1)，则的值为(　　) A．1　　 B．－1　　 C．　　 D．－ 解析：B　r＝ ＝， ∴sin α＝－，cos α＝，∴＝－1. 2．在直角坐标系xOy中，已知sin α＝－，cos α＝，那么角α的终