第一章 3.2 弧度与角度的换算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§3　弧度制 3．1　弧度概念 3．2　弧度与角度的换算 [素养目标]　1.了解弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的互化．　3.能用弧度制表示角．　4.培养学生数学抽象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　角度与弧度的互化 [基础梳理] 1．弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度．这种以弧度作为单位来度量角的方法称作弧度制，“弧度”二字可以略去不写． 2．弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 度 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 π 2π [互动探究] 　把下列角度与弧度进行互化： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－. 解：(1)72°＝72×＝. (2)－300°＝－300×＝－. (3)2＝2×＝°. (4)－＝－×＝－40°. 角度与弧度互化问题的注意点 (1)角度与弧度的互化关系为π rad＝180°，则度数×＝弧度数，弧度数×＝度数． (2)将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”表示，再利用1°＝rad化为弧度即可．　　 [跟踪训练] 1．设α＝510°，β＝－. (1)将角α用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限； (2)将角β用角度表示出来，并指出它的终边所在的象限． 解：(1)因为1°＝rad， 所以α＝510°＝510×rad＝rad ＝2π＋. 所以角α的终边在第二象限． (2)β＝－＝－×＝－330°. 360°－330°＝30°，所以角β的终边在第一象限． 探究点二　用弧度制表示角 [互动探究] 　(1)若θ角的终边与的终边相同，则在[0，2π]内终边与角的终边相同的角是________． 解析：由已知θ＝2kπ＋(k∈Z)． 所以＝＋(k∈Z)． 由0≤＋≤2π，得－≤k≤. 因为k∈Z，所以k＝0，1，2，3. 所以依次为π，π，π，π. 答案：π，π，π，π (2)用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 023°是不是这个集合的元素． 解：因为150°＝.所以终边在阴影区域内角的集合为 S＝. 因为2 023°＝223°＋5×360°＝＋10π， 又<<.所以2 023°＝＋10π∈S，即2 023°是这个集合的元素． 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． [跟踪训练] 2．把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π. 解：因为－1 480°＝－1 480°× rad＝－π rad，所以－π＝－10π＋π，其中α＝π. 3．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． 解：因为30°＝ rad，210°＝ rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为. 探究点三　与弧长、扇形面积有关的问题 [基础梳理] 扇形的弧长和扇形面积公式 n为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝|α|r 扇形的面积 s＝ S＝lr＝|α|·r2 [互动探究] 　(1)如图是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若＝2，则＝(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　设∠BOC＝α，则＝＝2，所以＝2， 所以＝ ＝＝＝3. 故选C． (2)已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角α＝________弧度． 解析：由题意，扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20，可得l＋2r＝20，即l＝20－2r， 则扇形的面积S＝lr＝·(20－2r)·r＝(10－r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，扇形面积取得最大值，此时α＝＝＝2. 答案：2 1．灵活运用扇形面积公式和弧长公式列方程组并求解是解决此类问题的关键． 2．解决扇形中的有关最值问题，要运用函数、化归的思想方法，把扇形的面积表示为半径或圆心角的函数，利