第一章 2.2 象限角及其表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　任意角 2．1　角的概念推广 2．2　象限角及其表示 [素养目标]　1.了解任意角的概念．　2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义．　3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．　4.培养学生直观想象、数学抽象的学科素养． 探究点一　角的概念推广 [基础梳理] 1．角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类 [互动探究] 　(1)某同学步行从家里到学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟内，钟表的分针走过的角度是(　　) A．30°　　　　　　 B．－30° C．60° D．－60° 解析：D　利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°， 所以有×10＝60°， 即分针走过的角度是－60°. (2)①时针走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________． ②如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________. 解析：①从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转30°，分针每小时转360°，每分钟转6°，时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即3小时，故时针转过的角度数为－3×30°＝－100°；分针转过的角度数为－3×360°＝－1 200°. ②由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°. 答案：①－100°　－1 200°　②－75° 1．理解角的概念的三个“明确” 2．表示角时的两个注意点 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负． [跟踪训练] 1．时针经过1小时，时针转动的角的大小是(　　) A．30°　 B．60°　 C．－30°　 D．－60° 解析：C　时针是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的，所以转动的角的大小是－×360°＝－30°. 探究点二　终边相同的角 [基础梳理] 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． [互动探究] 角度1　求与已知角终边相同的角 　在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角： (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)区间[360°，720°)内的角． 解：与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)， (1)由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°. 在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．　　 角度2　求角的终边落在给定直线上的角的集合 　如图所示：则终边落在直线y＝x上的角的集合为________． 解析：终边落在y＝x(x＞0)上的角的集合是 S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是 S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}， 于是，终边落在y＝x上的角的集合是 {α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 答案：{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z} 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x＜0两种情况讨论，最后再进行合并．　　 [跟踪训练] 2．与－265°终边相同的角为(　　) A．95°　 B．－95°　 C．85°　 D．－8