第五章 3.2 复数乘除运算的几何意义-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

*2.3　复数乘法几何意义初探 3．2　复数乘除运算的几何意义 探究点一　复数三角形式的乘法 [基础梳理] 复数三角形式的乘法法则 r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和． [互动探究] 　计算下列各式： (1)3(cos 20°＋isin 20°)[2(cos 50°＋isin 50°)][10(cos 80°＋isin 80°)]； (2)(－1＋i). 解：(1)原式＝6(cos 70°＋isin 70°)[10(cos 80°＋isin 80°)] ＝60(cos 150°＋isin 150°) ＝60(－＋i)＝－30＋30i. (2)法一：复数－1＋i的模r＝，cos θ＝－，sin θ＝，∴θ＝. 原式＝(cos＋isin)[(cos＋isin)] ＝ ＝＝＝i. 法二： ＝(－i)＝－i， 原式＝(－1＋i)(－i) ＝(－＋)＋(＋)i＝i. 复数三角形式的乘法运算 (1)直接利用复数三角形式的乘法法则：模数相乘，辐角相加． (2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘．　　 [跟踪训练] 1．计算：2×4＝________． 解析：原式＝2×4[cos(＋)＋isin(＋)]＝8＝4＋4i. 答案：4＋4i 2．计算： (1)×； (2)； (3)2(cos 22°＋isin 22°)[5(cos 65°＋isin 65°)][3(cos 93°＋isin 93°)]． 解：(1)原式＝×[cos(＋)＋isin(＋)]＝(cos＋isin)＝－i. (2)原式＝2(cosπ＋isinπ)×2(cosπ＋isinπ) ＝4[cos(π＋π)＋isin(π＋π)] ＝4(cos＋isin) ＝4(－－i)＝－2－2i. (3)原式＝2×5×3[cos(22°＋65°＋93°)＋isin(22°＋65°＋93°)]＝30(cos 180°＋isin 180°)＝－30. 探究点二　复数三角形式的除法 [基础梳理] 复数三角形式的除法法则 ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． [互动探究] 　(1)计算：4(cos 80°＋isin 80°)÷2(cos 320°＋isin 320°)； (2)已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求的三角形式． 解：(1)原式＝[cos(80°－320°)＋isin(80°－320°)] ＝2[cos(－240°)＋isin(－240°)] ＝2(－＋i)＝－1＋i. (2)＝ ＝[cos(0－θ)＋isin(0－θ)] ＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]． 复数三角形式的除法运算 (1)利用复数三角形式的除法法则：模数相除，辐角相减． (2)一个非零复数的倒数，其模是原来复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数．　　 [跟踪训练] 3．计算－2÷＝________． 解析：原式＝2(cos π＋isin π)÷(cos＋isin)＝2[cos(π－)＋isin(π－)] ＝2(cos＋isin)＝－＋i. 答案：－＋i 4．计算： (1)3(cos＋isin)÷(cosπ＋isin)； (2)2i÷. 解：(1)原式＝6 ＝6(cos＋isin) ＝6(＋i)＝3＋3i. (2)原式＝2÷(cosπ＋isinπ) ＝4 ＝4 ＝4(－i) ＝2－2i. 探究点三　复数乘除法的几何意义 [基础梳理] 1．复数代数形式乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为. (1)若z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向伸长(c>1)或压缩(0<c<1)c倍得到的． (2)z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为，则是将逆时针旋转得到的． 2．复数三角形式乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，如图，把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2，这是复数乘法的几何意义． 3．复数三角形式除法的几何意义 两个复数z1，z2相除时，如图，把向量绕原点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕原点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这是复数除法的几何意义． [互动探究] 　在