第四章 三角恒等变换 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末总结 拓展一　公式的拓展 恒等变换公式的拓展 (1)升幂公式： (2)降幂公式： (3)sin 2α＝. (4)cos 2α＝. (5)tan α＝＝. (6)辅助角公式：asin α＋bcos α＝ sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝(a，b不同时为0)． 　设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　) A．3α－β＝　　　　　 B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 解析：B　由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin，因为－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B． 　＝ ． 解析：＝＝＝2. 答案：2 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2 θ＋cos2 θ＝1进行降幂：如cos4 θ＋sin4 θ＝(cos2 θ＋sin2 θ)2－2cos2 θsin2 θ＝1－sin2 2θ，等等．　　 拓展二　三角恒等变换中角的变换技巧的拓展 将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的变换． 常见的角的变换有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝[(α＋β)＋(α－β)]， α＝[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α， 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等． 　已知cos(＋α)＝，求cos(－α)的值． 解：∵＋＝3π， ∴－α＝2π＋π－， ∴cos＝cos＝－cos＝－. 将＋α看作一个整体，观察已知角和所求角的互补、互余关系是解题关键．　　 　已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为 ． 解析：因为sin α＝，α为第二象限的角， 所以cos α＝－，所以tan α＝－. 所以tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝＝－＝－. 答案：－ 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分．　　 拓展三　三角恒等变换中“式”与“名”的技巧拓展 1．“式”的变换 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝. (3)tan α＋tan β＋tan αtan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－. 注意公式的正用、逆用、变形使用． (5)若(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，α，β均为锐角，则α＋β＝. 2．“名”的变换 正弦与余弦的变换，切与弦的变换． 　已知tan2 α＋6tan α＋7＝0，tan2 β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值． 解：由题意知tan α、tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得 ∴tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴<α<π，<β<π. ∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝π. 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．　　 　已知tan 2θ＝－2，2θ∈， 求的值． 解：根据题意，得tan 2θ＝＝－2， 整理，得tan2 θ－tan θ－＝0， 即(tan θ－)(tan θ＋)＝0. ∵2θ∈，∴θ∈， ∴tan θ>1，∴tan θ＝. ∴＝ ＝＝＝＝2－3. 利用所求代数式中的角与条件中的角的联系，都转化为同一种角“θ”的形式，从而求值．　　 　求下列各式的值： (1)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°； (2). 解：(1)原式＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30° ＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1. (2)原式＝＝ ＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 应用两角和与差的正切公式解题时，要注意公式的逆用及变形应用．　　 学科网（北京）股份有限公司 $$