第二章 5.1 第一课时 向量的数量积及夹角(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§5　从力的做功到向量的数量积 5．1　向量的数量积 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 [素养目标]　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．　3.能用数量积表示两个向量的夹角，掌握运算规律．　4.通过实例，培养直观想象，数学运算的学科素养． 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 第一课时　向量的数量积及夹角 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 探究点一　向量数量积的计算 [基础梳理] 向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作______，即_________________________________． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 合作探究 素养形成 a·b a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos θ 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 [互动探究] 　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 解：(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. 例 1 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．　　 方法·技巧 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 [跟踪训练] 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 探究点二　求向量的夹角 [基础梳理] 1．向量的夹角 ∠AOB＝θ(0≤θ≤π) 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 (2)范围：__________________． (3)当θ＝____时，a与b同向；当θ＝________时，a与b反向；当θ＝______时，我们说a与b垂直，记作______． (4)规定零向量可与任一向量________． 0°≤θ≤180° 0° 180° 90° a⊥b 垂直 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 [互动探究] 已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　) 例 2 B 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 方法·技巧 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 [跟踪训练] 3．平面向量a和b， (1)如果a·b＝0，则a与b的夹角为________________； (2)如果a·b＝|a||b|，a与b的夹角为____________； (3)如果a·b＝－|a||b|，a与b的夹角为________________； (4)如果a·b＞0，a与b的夹角为________________； (5)如果a·b＜0，a与b的夹角为________________． 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 4．已知|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，，则a与b的夹角为(　　) A．60°　　　　　　 B．120° C．135° D．150° B 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 探究点三　投影向量及其应用 [基础梳理] 1．投影向量的定义 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 2.向量数量积的几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量__________的乘积；或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量____________的乘积． |b|cos θ |a|cos θ 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 [互动探究] 例 3 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 方法·技巧 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 1 合作探究 素养形成 随堂检测 素养达标 6．设i、j分别为单位向量，其夹角为θ，当θ分别为30°，90°，135°时，求i在j上的投影向量． 1 合作探究 素养形成 随堂检测