选修4-5 不等式选讲-【创新方案】2024版高考数学(理科)一轮复习（老教材 新高考）

选修4一5不等式选讲 第一节绝对值不等式 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：a+b≤a十|b1(a,b∈R): |a-b≤la-cl+lc-bl(a,b,c∈R) 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：ax+十b≤c:ax十b≥c:x一c十x一b≥a. 基础扎牢 基础不牢·地动山摇 1.绝对值三角不等式 (2)a.x+b≤c,|ax+b≥c(c>0)型不等式的 定理1：如果a,b是实数，则|a十b≤ 解法： 当且仅当 时，等号成立 ①|a.x+b≤c台 定理2：如果a,b,c是实数，那么 ②la.x+b1≥c台 当且仅当 时，等号成立。 (3)|x-a|+|x-b1≥c,|x-a+|x-bl≤ 2.绝对值不等式的解法 c(c>0)型不等式的解法： (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的 ①利用绝对值不等式的几何意义求解： 解法： ②利用零点分段法求解： 不等式 a>0 ③构造函数，利用函数的图象求解。 a=0 a<0 3.常用绝对值不等式的性质 r|<a @ (1)|la|-|bl≤a±b≤|a+bl: x>a {x∈Rx≠0) R (2)a+b+cl<lal+1b1+1cl. 考法研透 方向不对·努力白费 命题视角一 绝对值不等式的解法 [典例](2021·金回甲卷)已知函数f(x)= [听课记录] x-21,g(x)=|2x+3-2.x-1. (1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象。 (2)若f(x十a)>≥g(x),求a的取值范围. 276 选修4一5不等式选讲 [方法技巧]解绝对值不等式的常用方法 (2)若不等式f(x)≤0的解集为{xx≤一2}，求 基本 对a∈R,,lx|<a台-a<x<a,|x>a a的值. 性质法x<一a或x>a 平方法 两边平方去掉绝对值符号 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可 零点分 用零点分区间法腻去绝对值符号，将其转化为 区间法 与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解 数形在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两 结合法个画数的图象，利用函教图象求解 [针对训练] 设函数f(x)=|x-a十3.x,其中a>0. (1)当a=2时，求不等式f(x)≥3x十4的 解集； 命题视角二绝对值不等式性质的应用 [典例]已知函数f(x)=|3x十1十3x一1|，： [针对训练] M为不等式f(x)<6的解集。 (1)求集合M: 已知实数xy满是x+<行2x-川< (2)若a,b∈M,求证：lab+1>a+b. 1 [听课记录] 求证：y<品 [方法技巧] 绝对值不等式性质的应用 利用不等式a十b≤a+1b(a,b∈R)和a一b ≤a-c|+|c一b(a,b∈R),通过确定适当的a,b,利 用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以①求 最值：②证明不等式， 铺277 创新方案 高三总复习 数学（理） 命题视角三 绝对值不等式恒成立与存在性问题 [典例] 设函数f(x)=|2x-1|,g(x)= [针对训练] a.x+1. (1)求不等式f(x)≤1一x的解集： 已知函数=-a+名a≠0. (2)若不等式f(x)十g(x)≥2x在区间 (1)若不等式f(x)一f(x十m)≤1恒成立，求 实数m的最大值： (21)上恒成立，求a的取值范围。 (2)当a<2时，函数g(x)=f(x)+2x-1 [听课记录] 有零点，求实数a的取值范围. [方法技巧] 若函数f(x)中含有绝对值，则 (1)f(.x)>a有解台f(x)m>a. (2)f(.x)>a恒成立=f(x）mm>a. (3)f(.x)>a恰在(c,b)上成立白c,b是方程f(x) =a的解。 课下请完成课时跟踪检测（六十六） 第二节 不等式的证明 课程 标准 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法、分析法，培养逻辑推理和数学运算的核心素养。 基础扎牢 基础不牢·地动山摇 1.基本不等式 (3)柯西不等式的向量形式：设a,B为平面上的 如果a,b∈R,那么a十b≥ ,当且仅当 两个向量，则|a≥ ,当且仅当 定理1 时，等号成立 等号成立 如果a,b>0,那么a十b 3.证明不等式的方法 2 ,当且仅当 定理2 综 时，等号成立，即两个正数的算术平均 般地，从已知条件出发，利用定义，公理、定理、性 不小于（即大于或等于）它们的几何平均 法 质等，经过一系列的 而得出命题成立 从 如果a,,c∈R,那么a+b+≥ 出发，逐步寻求使它成立的 定理3 3 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 当且仅当 时，等号成立 法 (定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要 2.柯西不等式 证的命题成立 (1)设a,b,c,d均为实数，则(a+b)(c2+d)≥ 先假设要