山东省青岛市青岛第九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

青岛九中2023-2024学年度第一学期阶段检测 高二数学学科试题 2023.10 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选题；共90分，满分150分，考试时间为120分钟. 2．第Ⅰ卷共4页，第Ⅱ卷共4页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，则集合（ ） A B. C. D. 2. “”是“直线的斜率不存在”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ） A. －2 B. －1 C. －1或3 D. 3 8. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A B. C. 4 D. 2 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知向量，则存在向量与，构成空间向量的一组基底 B. 两个不同平面，的法向量分别是，，，，则 C. 已知三棱锥，点平面上一点，，则 D. 已知，，则与方向相同的单位向量是 10. 下列结论正确的有（ ） A. 过点，直线的倾斜角为 B. 若直线与直线垂直，则 C. 已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5 D. 直线与直线之间的距离为 11. 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 12. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积不是定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，，且与夹角为钝角，则的取值范围是_________. 14. 经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________． 15. 直线l过点，且点到l的距离为3，则直线l的一般式方程为__________. 16. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步㵵） 17. 在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）设的中点为D，求边上的中线所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程； 18. 如图，在三棱台中，，平面，且为中点. （1）证明：平面； （2）若，求此时直线和平面所成角的正弦值. 19. 已知直线的方程为： （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 20. 已知直线过点，且倾斜角是直线倾斜角的倍． （1）求直线的方程； （2）设直线与直线的交点为Q，点R在直线上，若三角形PQR的面积为，求点R的坐标． 21. 如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 22. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，平面平面ABCD，，E为PA中点． （1）求证：平面PBC； （2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角的余弦值为？若存在，请求出PN的长；若不存在，请说明理由． 青岛九中2023-2024学年度第一学期阶段检测 高二数学学科试题 2023.10 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选题；共90分，满分150分，考试时间为120分钟. 2．第Ⅰ卷共4页，第Ⅱ卷共4页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在