专题07 二次函数中的存在性问题专训（8大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题07 二次函数中的存在性问题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 二次函数中直角三角形的存在性问题 题型二 二次函数中等腰三角形的存在性问题 题型三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 题型四 二次函数中特殊角度的存在性问题 题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型六 二次函数中矩形的存在性问题 题型七 二次函数中菱形的存在性问题 题型八 二次函数中正方形的存在性问题 【经典例题一 二次函数中直角三角形的存在性问题】 1．（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标； (3)在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标． 2．（2023秋·广东汕头·九年级校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．    (1)求a，k的值． (2)求的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考开学考试）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点、．    (1)求此抛物线的解析式； (2)设是直线上方该抛物线上除点外的一点，且与的面积相等，求点的坐标； (3)在直线上方，抛物线上找一点，使得的面积最大，则点的坐标为________； (4)设是抛物线上一点，且为直角三角形，则点的横坐标为________． 4．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，    (1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标； (2)过定点（1，3）的直线：与二次函数的图像相交于M，N两点． ①若，求k的值； ②证明：无论k为何值，恒为直角三角形． 【经典例题二 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 5．（2022秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与轴交于点C．    (1)在抛物线的对称轴上找一点D，使最短，求出D点坐标； (2)P是y轴正半轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，试求P点坐标． 6．（2023秋·浙江·九年级校联考阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值； (3)是否存在点这样的点P，使得以O，M，N为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线与轴交于和两点，与轴交于点.    (1)求此抛物线解析式； (2)如图1，为线段上一点，作交抛物线于，的长度最大时，求点的坐标； (3)如图2，为射线上一点，在抛物线上，、均位于轴上方，且使，当为等腰三角形时，求点坐标. 8．（2022秋·江苏连云港·九年级灌云县实验中学校考期末）如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； (3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【经典例题三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 9．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，抛物线与轴相交于点和点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 10．（2023·全国·九年级专题练习）已知抛物线经过点和点 (1)求该抛物线的函数表达式及其顶点坐标． (2)将该抛物线平移，所得抛物线经过点，且与y轴交于点B．如果以点A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，那么应将抛物线怎样平移？为什么？ 11．（2023·宁夏银川·校考二模）如图：一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数图象上任意一点，过点P作轴于点M，连接．    (1)当为等腰直角三角形时，试确定点P的坐标； (2)当与相似时，试确定点P的坐标； (3)当为何值时，的面积最大？并求出最大值． 12．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一