专题2-2 平移齐次化解决圆锥曲线中斜率和积问题与定点问题-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题2-2 圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题（平移齐次化） 【例题】 已知椭圆，设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【手电筒模型·1定+2动】 直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点． (因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)． 补充：若过定点，则定值，定值. 【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移） Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理 Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系， Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去! 【补充】椭圆是椭圆上一点，A，B为随圆E上两个动点，与PB的斜率分别为k1，k2. (1)，证明AB斜率为定值≠0)； (2)，证明AB过定点：； (3) ，证明AB的斜率为定值； (4)，证明AB过定点：. 以上称为手电筒模型，注意点P不在椭圆上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1²” 2020·新高考1卷·22 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 重点题型·归类精讲 题型一 已知定点求定值 1． 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：． 2． 如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2． 3． 已知点，为坐标原点，E，F是椭圆上的两个动点，满足直线AE与直线AF关于直线x＝1对称．证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值； 4． 如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于､两点(在的上方)，设点､是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由. 5． 椭圆，，经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2． 6． 已知椭圆：，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点， 若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出定值. 题型二 已知定值求定点 7． （2017·全国卷理）已知椭圆，设直线l不经过点且与C相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为-1，证明：l过定点． 8． 已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点． 9． 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2． （1）求点P的坐标及抛物线C的方程； （2）若点M、N在抛物线C上，且kPM•kPN＝，证明：直线MN过定点. 10． 已知椭圆，，若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值． 11． 已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为． ①求证：为定值； ②求证：直线过定点. 7 / 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2-2 圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题（平移齐次化） 【例题】 已知椭圆，设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【平移+齐次化处理】 Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理 将椭圆向下平移一个单位，（为了将平移到原点） 椭圆方程化为，（左加右减，上减下加为曲线平移） 设直线对应的直线为，椭圆方程化简为， 把一次项化成二次结构，将2y乘上即可 此时椭圆方程变成： Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系 由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为－1，而P2点此时为原点，设平移后的， 即, 将椭圆方程两边同除以，令，得， 结合两直线斜率之和为，即，得，， Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去! 直线恒过点，向上平移一个单位进行还原 在原坐标系中，直线过点． 【手电筒模型·1定+2动】 直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点． (因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)． 补充：若过定点，则定值，定值. 【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移） Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理 Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到