04第四章 指数函数与对数函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（新教材专用）

第四章 指数函数与对数函数 目录 考点精讲精练 5 考点一：指数 5 考点二：指数函数的概念 5 考点三：指数函数的图象和性质 6 考点四：对数 8 考点五：对数函数的概念 9 考点六：对数函数的图象和性质 10 考点七：不同函数增长差异 12 考点八：函数的零点与方程的解 13 考点九：用二分法求方程的近似解 14 考点十：函数模型的应用 15 指数函数与对数函数实战训练 19 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 5、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数. （3）对数式与指数式的互化：. 6、对数的性质、运算性质与换底公式 （1）对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： ①负数和零没有对数，即； ②1的对数等于0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式. （2）对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③. （3）对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①； ②； 7、对数函数及其性质 （1）对数函数的定义 形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 8、函数的零点 对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注 意函数的零点不是点，是一个数. 9、函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标 即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 10、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 11、常见函数模型 （1）指数函数模型（且，） （2）对数函数模型（且，） 12、指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 考点一：指数 真题讲解 例题1．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 例题2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023·山西·高二统考学业考试） ． 真题演练 1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列运算错误的是（    ） A．a3+a3=2a6 B．a6÷a-3=a9 C．a3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6 2．（2023春·浙江绍兴·高二绍兴一中校考学业考试）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高一学业考试）计算： . 考点二：指数函数的概念 真题讲解 例题1．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 例题2．（2023·河北·高三学业考试）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 例题3（2023·全国·高一专题练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是