专题8.2 圆的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以圆的方程为核心，通过三大重难点题型系统整合方程求法、轨迹探究及最值求解，形成“概念-方法-应用”逻辑链条，培养几何直观与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求圆的方程|8题（含椭圆双曲线交点圆、直径式方程应用等）|梳理标准方程、一般方程、直径式方程三种形式，强调几何条件转化|从圆的方程形式（概念生成）到多情境下方程确定（应用拓展）| |与圆有关的轨迹问题|7题（含对称点轨迹、切线四边形轨迹等）|聚焦动点横纵坐标等量关系探求，强化几何条件代数化|以圆的定义为基础，通过动点关系推导轨迹方程（原理推导）| |与圆有关的最值问题|14题（含双圆最值、抛物线与圆综合最值等）|运用几何意义（如距离、斜率）及代数转化（如参数法）|综合圆与函数、圆锥曲线知识，提升数学表达与模型构建能力|

专题8-2 圆的方程 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 4．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______. 5．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 重难点题型1 求圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 1．（2026·广西桂林·二模）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川遂宁·一模）求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 7．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 8．已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为______． 重难点题型2 与圆有关的轨迹问题 要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在． 1．已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·三模）若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（2024·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，点，动点满足（为坐标原点），过点的直线被动点的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为______． 6．动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是___________. 7．（23-24高三上·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为______________． 重难点题型3 与圆有关的最值问题 1．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 5．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 6．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆经过点，，，点是圆上一点，则到抛物线的焦点的最大距离为____________．    7．（2026·江苏无锡·三模）已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 8．（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 9．（2026·山东德州·模拟预测）已知点在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为________． 10．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 11．（2026·辽宁盘锦·一模）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______. 12．（2026高三下·广东惠州·专题练习）若复数满足，则|z|的最大值为______． 13．（2025·海南·模拟预测）已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为___________． 14．（24-25高三下·山东德州·阶段检测）直三棱柱中，，点为的中点，动点满足.当点在侧面内运动时，点运动路径的长度为__________.当点在空间中运动时，最大值为__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8-2 圆的方程 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、坐标法的应用——直线与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 3．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 4．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果. 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 5．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径. 【详解】圆即， 所以圆的半径为. 故答案为： 重难点题型1 求圆的方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 1．（2026·广西桂林·二模）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求两曲线的交点 【详解】联立方程，消去得，所以，， 则交点坐标为，，，， 不妨设圆的标准方程为：，代入得：， 所以圆的标准方程为：. 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 3．（2026·四川遂宁·一模）求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由题知，再根据点到直线的距离公式得，最后再求解圆的标准方程即可. 【详解】由题知抛物线的焦点坐标为， 所以到直线的距离为, 所以，所求圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：A 4．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 5．抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【详解】抛物线的图象关于对称，与坐标轴的交点为，，，令圆心坐标，可得，即， 解得，，∴圆的轨迹方程为，故选D. 6．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 7．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为____________. 【答案】（或）（两种形式均正确） 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、求圆的一般方程 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 8．已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为______． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程、轨迹问题——圆 【分析】根据四边形外接圆的几何性质，分情况求解，当过点A的直线与直线BC平行时可满足，当过点A的直线与BC垂直时，从而得对应的圆的方程，即可得答案. 【详解】当过点A的直线与直线BC平行时，围成的四边形是等腰梯形，外接圆就是过，，的圆． 设该外接圆的圆心坐标为，则，， 所以半径， 此时圆的标准方程为． 当过点A的直线与BC垂直时，外接圆就是以线段AC的中点为圆心，AC为直径的圆， 其圆心坐标为，半径，此时圆的标准方程为． 故答案为：.（答案不唯一） 重难点题型2 与圆有关的轨迹问题 要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在． 1．已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】设，，根据得到，将其代入圆C方程，即得点的轨迹方程. 【详解】设，， 因，则， 由，可得， 即，故（*）， 因D是圆C上的动点，故， 将（*）代入上式，可得， 整理得，即为点M的轨迹方程. 故选：B 2．（2025·浙江·三模）若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】先求出直线过的定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由得，所以直线l过定点， 又由对称性可知，，所以点A到点B的距离为， 方程又又方程不能表示直线,所以点A不能为， 所以点A的轨迹为圆的一部分. 故选：A． 3．（2024·河北邯郸·二模）由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、轨迹问题——圆 【分析】根据正方形可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求出方程即可. 【详解】因为四边形为正方形，且,所以, 故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为. 故选：B 4．已知点，点，动点满足（为坐标原点），过点的直线被动点的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦 【分析】设，根据得到动点的轨迹为圆，再由圆的性质求解. 【详解】设，由得动点的轨迹方程为， 即， 则动点的轨迹曲线为圆，圆心为． 又点在圆内，所以， 所以最短弦所在直线的斜率为2， 所以所求直线方程为，即． 故选：A 5．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为______． 【答案】. 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】设点坐标，再根据题意列出等式，化简即可求得轨迹方程. 【详解】设，则由可得，化简得. 故答案为：. 6．动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是___________. 【答案】（） 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、轨迹问题——圆 【分析】根据题意可知：点的轨迹是以为直径的圆（除外），进而可得结果. 【详解】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外）， 即以的中点为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为：. 7．（23-24高三上·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为______________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解. 【详解】依题意，设，由，得， 即，整得得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 重难点题型3 与圆有关的最值问题 1．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、双曲线中x、y的取值范围、轨迹问题——圆 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】   由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，故B正确． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 4．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、辅助角公式、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 5．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】辅助角公式、由标准方程确定圆心和半径 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 6．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆经过点，，，点是圆上一点，则到抛物线的焦点的最大距离为____________． 【答案】/ 【难度】0.68 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出圆的方程，可得圆心及半径，易知，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设圆的方程为， 则有， 解得， 所以圆的方程为， 即， 所以圆心，半径； 又因为抛物线的焦点， 要使圆上一点到的距离最大， 则为直线与圆在第四象限的交点， 此时.    7．（2026·江苏无锡·三模）已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 【答案】/ 【难度】0.52 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标与半径，再求出圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即为的最小值. 【详解】作出图形，如图所示： 圆关于轴的对称圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由图象可知当三点共线时，取得最小值，同时取得最小值， 所以的最小值为. 8．（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】数量积的坐标表示、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】建系，确定动点的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 9．（2026·山东德州·模拟预测）已知点在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求平面两点间的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【详解】点在抛物线 上，点在圆上，设. 由于圆与抛物线不相交，且抛物线上所有点均在圆外， 因此的最小值等于的最小值减去圆的半径. 设抛物线上点 ，. 当时，，即. 因此，的最小值为. 10．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】由题意可得：圆：， 圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 11．（2026·辽宁盘锦·一模）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点，由抛物线的定义可得出，所以，其中为圆的半径，当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，等号成立. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 圆的圆心为，半径为， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和为 . 当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是. 12．（2026高三下·广东惠州·专题练习）若复数满足，则|z|的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设，由可得，然后由复数模长公式结合两点间距离公式可得答案. 【详解】设，， 即在以为圆心，半径为的圆上. 又表示到的距离， 则由图可知. 13．（2025·海南·模拟预测）已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、直线与抛物线交点相关问题、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求出，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点，可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则，求出代入即可得出答案. 【详解】设圆的圆心为，， 设直线的方程为， 联立可得：，解得：或， 因为是抛物线在第一象限上一点，所以， 所以，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点， 可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为， 根据椭圆的性质，， 因为焦距为，即， 当圆与动椭圆外切时最小即点到直线最近时最小， 此时，即， 点到直线的距离为：， 到直线的最小值为，即， 所以为最小值. 故答案为：. 14．（24-25高三下·山东德州·阶段检测）直三棱柱中，，点为的中点，动点满足.当点在侧面内运动时，点运动路径的长度为__________.当点在空间中运动时，最大值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间距离公式的应用、球的结构特征辨析、空间向量的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】根据题给条件建立空间直角坐标系，设，根据列等式. （1）当点在侧面内运动时，令，化简等式即可得到点的轨迹方程，即可求其运动路径的长度. （2）当点在空间中运动时，可求得点的轨迹为球，利用坐标表示，写出计算结果的几何意义，利用球上一点到某一点距离的最大值为球上一点与圆心距离加上半径，即可求解. 【详解】 因为，所以，，则 直三棱柱中，所以两两垂直， 如图：以为坐标原点，以的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 则 设， 当点在侧面内运动时，则 因为， 则 化简得，即. 则点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 所以点运动路径的长度为圆的周长. 当点在空间中运动时， 则 化简得，即 所以点在球心为，半径的球上运动. . 最大值的几何意义为点到点距离的最大值的平方. 又点到点距离的最大值为球心到点的距离加上半径， 即 所以，则. 故答案为：；. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $