02第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考复习】2024年高中数学学业水平考试必备考点归纳与测试（新教材专用）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 目录 知识梳理 1 考点精讲精练 3 考点一：等式性质与不等式性质 3 考点二：基本不等式 6 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 9 一元二次函数、方程和不等式实战训练 12 1、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 2、实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 5、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 6、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 7、二次函数 （1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 8、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 9.或型不等式的解集 不等式 解集 10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 考点一：等式性质与不等式性质 真题讲解 例题1．（2023春·湖南·高二统考学业考试）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误； 对于B，由，若，则，故B错误； 对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确； 对于D，取，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 例题2．（2023春·河北·高三统考学业考试）下列不等式： ①； ②； ③； ④ 其中恒成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立； 对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立； 对于③，，∴，故③恒成立； 对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立； 故恒成立的结论是①③④ 故选：B． 例题3．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知，，分别求 (1) (2) (3)的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1），而， 所以有 （2）； （3），而， 所以有. 例题4．（2023春·河北·高三统考学业考试）设为实数，比较与的值的大小. 【答案】 【详解】 则 真题演练 1．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，当，时，，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：D. 2．（2023·河北·高三学业考试）“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，，成立，但不成立，则“”“”. 当，则，由不等式的性质得，， 即“”“”. 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（多选）（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知非零实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，因为，则，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，， 当时，；当时，； 综上：，故B正确； 对于C，取，满足，但，故C错误； 对于D，取，满足，但，故D错误. 故选：AB. 4．（2023·上海·高三统考学业考试）设，，则s与t的大小关系是 . 【答案】 【详解】, . 故答案为：. 考点二：基