【数学思想】第3讲：函数与方程思想在导数中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第3讲 函数与方程思想在导数部分的应用 函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。 方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。 函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。 函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。在高考数学上，与函数有关的试题所占的比例实际上在20%左右，且试题中既有灵活多样的客观性试题，又有。一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想最重要的一种，是最重要的一种数学思想，高考所占的比重比较大，综合知识多，题型多。应用技巧多。 【应用一】函数与方程思想在研究直线的斜率的应用 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． (3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 【例1.1】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ） A．0 B． C． D． 【思维提升】利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 【变式1.1】【2022年新高考2卷】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【变式1.2】【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【变式1.3】【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 【应用二】函数与方程思想在转化为方程根的关系 函数与方程（不等式）思想贯穿于高中数学的各个模块，求值问题涉及到方程，求范围的问题就离不开不等式，在导数部分中涉及到切点坐标，交点坐标等问题往往都是转化为方程的跟的问题。 【例2】（2023·江苏泰州·统考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【思维提升】与切点坐标、交点坐标等问题往往转化为方程根的问题，特别是范围问题要结合韦达定理转化为函数的问题， 【变式2.1】【2022年新高考1卷】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【变式2.2】（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．的最大值为2 D． 【变式2.3】（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【应用三】函数与方程思想在构造函数比较大小 比较大小是高考试题中经常考查的题型，此类题型主要体现的思想方法就是构造函数，转化为函数与方程的思想，研究函数的单调性，通过研究函数的单调性得出它们的大小关系。 【例3】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知，，（其中为自然常数），则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【思维提升】遇到关于指数、对数、幂函数的比较大小最常见的方法就是根据函数的单调性比较大小。但是涉及到综合性的比较大小，往往通过构造函数进行比较大小。如何构造函数就要求我们观察所给试的形式，或者把他们化简具有共同特征的形式，然后根据形式构造函数。最终通过求导研究函数的单调性，比较大小。 【变式3.1】（2023·江苏南京