专题1-5 抽象函数赋值与构造-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题1-5 抽象函数赋值与构造 一、抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性； 3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； 4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 三、常见的抽象函数模型 1、可看做的抽象表达式； 2、可看做的抽象表达式（且）； 3、可看做的抽象表达式（且）； 4、可看做的抽象表达式. 2022新高考2卷T8 1．已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 2023新高考1卷T11 2．（多选）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 重点题型·归类精讲 2023·山东青岛·统考三模 1． 设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______． 【答案】 【分析】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值. 【详解】令，则，； 令，，则，又，； 令，则，关于直线对称； 令，则， 不恒成立，恒成立，为奇函数， ，， 是周期为的周期函数，. 故答案为：. 2023·山东滨州·三模 2． （多选）已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则以下说法中正确的是（    ） A．f（0）＝0 B．f(x)是R上的奇函数 C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】根据函数对任意实数恒有，令，可得，判断奇偶性和单调性，即可判断选项； 【详解】解：对于A，函数对任意实数恒有， 令，可得，A正确； 对于B，令，可得，所以， 所以是奇函数；B正确； 对于C，令，则， 因为当x＞0时，f(x)＜0， 所以，即， 所以在均递减， 因为，所以在上递减； ，可得； 令， 可得 ， ； ， 在，上的最大值是6，C正确； 对于D，由不等式的可得， 即， ， ， 则， ， 解得：或； D不对； 故选：ABC． 安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考 3． 已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解. 【详解】由题意令，得，又不是常数函数， 所以，再令，得， 即，则， 即，故， 所以函数的周期为， 所以， 故选：D. 4． （多选）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知，利用赋值法计算判断得解. 【详解】定义在上的函数满足， 令，得，而，则，A正确； 令1