专题09 指数与指数函数-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

专题09指数与指数函数 1、 核心体系 二、关键能力 学生应理解有理指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；熟练掌握指数函数的概念、图象与性质． 三、教学建议 在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。 求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数： 求简单函数的值域中，简单函数指下列函数： ，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。 函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性 质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。 四、高频考点 1．根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 (4)当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 (5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 五、重点题型 考点一、指数幂根式的化简运算 例1、化简下列各式： (1) [(0.064)－2.5]－－π0 = (2) (a>0，b>0) = (3) 设，则 的值为 对点训练 1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝ 2.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学 C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学 3.(2021·北京朝阳区二模)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80 ℃的物体，放在20 ℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ℃，则k约等于(参考数据：ln 3≈1.099)(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 考点二、指数函数图像与性质的运用 例2-1.设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例2-2.【2020北京卷6】已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 对点训练 1.已知函数则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2.若，则函数的值域是 A． B． C． D． 3.函数y＝(a>1)的图象大致是(　　) 4．设函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点三、指数型函数性质与图像考察 例3-1（2023·新高考1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3（1）已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c． （2）如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ） A．3 B． C．-5 D．3或