专题1-4 切线与公切线-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题1-4 切线与公切线 目录 高考真题梳理 5 2022年新高考全国I卷T15——已知过某点的切线条数求参 5 2022·新高考全国II卷——求过原点的切线 5 2021新高考1卷·7——已知过某点的切线条数，求参数间的关系 7 2019·江苏卷——已知切线过某点，求切点 8 题型一 求过某点的切线 9 题型二 求公切线与确定公切线条数 9 2023届·浙江绍兴二模T15 9 2023届·浙江嘉兴二模T15 10 2023届广东省燕博园高三下综合能力测试T16 10 题型三 存在公切线，求参数值或范围 11 2023·福建厦门·5月适应性考试T16 11 长沙雅礼中学2022届月考（六）T16 12 2024届·江苏省南通，连云港质量调研(一)——以公切线为背景的指数对数计算求值问题 14 题型四 由过某点的切线条数求值或范围 14 2024届广东省六校高三第一次联考T8 14 2024届·广州中山大学附属中学校考 15 2023届·深圳高级中学高三上学期期中T7 16 安徽省合肥市2022-2023学年高三上期末联考 17 题型五 由公切线条数求参数范围 20 2023·广东深圳·统考一模T8 20 易混淆知识点补充： 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 过一点的切线方程 ①设切点为，则斜率 ②利用切点和斜率写出切线方程为：， ③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点） 求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则 由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 高考真题梳理 2022年新高考全国I卷T15——已知过某点的切线条数求参 1． 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是 2022·新高考全国II卷——求过原点的切线 2． 曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 2021新高考1卷·7——已知过某点的切线条数，求参数间的关系 3． 若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象