精品解析：上海市杨浦高级中学2024届高三上学期开学考试数学试题

杨浦高级中学2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题． 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 不等式的解集为____． 2. 已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ． 3. 设等差数列的前项和为，已知，则__________. 4. 在中，若，则的值为__________. 5. 若复数是纯虚数，则实数的值为___________. 6. 已知是R上的奇函数，当，则的解析式为__________ 7. 已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数__. 8. 中，内角，，的对边分别为，，.若，，的面积，则___________. 9. 设是从集合中随机选取数，则直线与圆有公共点的概率是______． 10 已知，则______. 11. 如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为______． 12. 已知曲线． ①曲线C的图像不经过第二象限； ②若为曲线上一点，则； ③存在与曲线有四个交点； ④直线与曲线无公共点当且仅当． 其中所有正确结论的序号是___________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案． 考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知集合，，若，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为，设视力在到之间的学生人数为a，则a的值为（ ） A. 27 B. 48 C. 54 D. 64 15. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 16. 设函数的定义域为，满足，且当时，.则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②若对任意，都有，则的取值范围是； ③若方程恰有3个实数根，则取值范围是； ④函数在区间上的最大值为，若，使得成立，则. A 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立． （1）求恰有两个项目成功的概率； （2）求至少有一个项目成功的概率． 18. 如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面．是以为斜边的等腰直角三角形，为上一点，且． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小． 19. 已知函数. （1）当时，试写出函数的单调区间； （2）当时，求函数在上的最大值. 20. 已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点． （1）求椭圆的方程； （2）设圆．若直线与圆相切，求直线的倾斜角； （3）若点是椭圆上不与椭圆顶点重合的一点，点M异于点且不与点关于轴对称，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴于点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由． 21. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． （1）若，求，； （2）设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）； （3）是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杨浦高级中学2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题． 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项通分，等价变形为整式不等式，进而可求解. 【详解】不等式等价于，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是______ ． 【