精品解析：吉林省永吉县第四中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度下学期期末考试 高一数学试题 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 4. 已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 5. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 6. 某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 定义变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中，．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，多选错选不得分） 9. 若，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 为纯虚数 10. 如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知三条边的长度为连续的正整数为正整数)，且最小角的余弦值为，则（    ） A. 是锐角三角形 B. 的面积为 C. 外接圆半径为 D. 若是最大角，则 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________． 13. 在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____． 14. 在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 四、解答题（共77分，共5道题，其中15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分） 15. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 16. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量，，且． （1）求 ； （2）若 ，且 的周长为 ，求 ， ． 17. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： （1）该应聘者用方案一考试通过的概率； （2）该应聘者用方案二考试通过的概率． 18. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 19. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末考试 高一数学试题 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则，所以的虚部为 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由和两边分别平方，解方程组即得的值. 【详解】由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得. 3. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以． 4. 已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由独立，得，B正确； 对于C，由独立，得，C错误； 对于D，由互斥，得，D正确. 5. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与向量共线，且向量不共线， 得，所以. 6. 某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特点以及侧面积公式求解即可, 【详解】因为圆锥的轴截面是等腰三角形，且轴截面是直角三角形，因此轴截面是等腰直角三角形. 设母线长为，底面圆半径为，则，化简得. 轴截面面积，解得，进而 圆锥侧面积为. 7. 已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 8. 定义变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中，．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】理解定义变换即可解题，先计算，再计算出，最后计算出与夹角的余弦值. 【详解】由题意可知，， ， , . 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，多选错选不得分） 9. 若，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 为纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，，的虚部为，为纯虚数． 10. 如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知条件得平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得平面，由此可判断B，C正确；由折叠而成，所以由知，从而判断D正确；假设，由线面垂直的判定定理可推得矛盾，判断A. 【详解】因为在平面BCD上的射影O恰好在CD上， 所以平面BCD．又平面BCD，所以． 因为四边形ABCD是矩形，所以， 又，CD，平面，所以平面． 因为，平面，所以，． 显然，由折叠而成，所以由知，故B，C，D正确； 假设，因为平面BCD，平面BCD，所以． 又，，平面，则得平面． 因为平面，所以，显然不成立. 所以假设不成立，故A错误． 11. 已知三条边的长度为连续的正整数为正整数)，且最小角的余弦值为，则（    ） A. 是锐角三角形 B. 的面积为 C. 外接圆半径为 D. 若是最大角，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据余弦定理列出方程求出边长，再根据余弦定理以及正弦定理求解即可. 【详解】三边为连续正整数：（），最小角对最小边，记最小角为， 则，由余弦定理， 化简得，解得，因此三边长为2，3，4. 对于选项A，最大角对最大边，记最大角为，由余弦定理，为钝角， 故是钝角三角形，所以A错误； 对于选项B，，则，三角形面积，所以B正确； 对于选项C，由正弦定理，外接圆半径，，则，，，所以C错误； 对于选项D，由二倍角公式，所以D正确． 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在上的投影向量为. 13. 在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】三点组成三角形，则，即：， 据此可得：，且：， 则满足题意时有：， 即，解得：. 综上可得，实数的取值范围是或. 14. 在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用向量相等求；②设在上的参数表示，求出坐标，将数量积表示为二次函数，利用单调性求最小值. 【详解】 ① 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，. 由，且在线段上，则. 于是，，. 又，对照可得，，故； ②点在线段上，设，， 则,即， 又为中点，，则得,故， 则， 因，故当时，取得最小值为. 四、解答题（共77分，共5道题，其中15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分） 15. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 16. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量，，且． （1）求 ； （2）若 ，且 的周长为 ，求 ， ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量垂直，则数量积为0列式，再结合正弦定理和三角形内角和定理化简，可求角 . （2）利用余弦定理和三角形的周长列式，解方程组可得 ， ． 【小问1详解】 因为，，且， 所以 ，即 ， 由正弦定理得， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以， 因为 ，所以 【小问2详解】 由余弦定理可得 ， 则 ①， 因为 ，且 的周长为 ， 所以 ，② 联立①②，解得 ． 17. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： （1）该应聘者用方案一考试通过的概率； （2）该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【小问1详解】 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； 【小问2详解】 应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 18. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】（1） （2） （3）95克 【解析】 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【小问1详解】 频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. 【小问2详解】 各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. 【小问3详解】 由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 19. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1） 为中点，，即， 又为中点，； ，，，四边形为矩形， ，即，， ，平面，平面， ，平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可证得；根据，和平行关系可证得平面，从而得到；由线面垂直的判定可得平面，根据面面垂直的判定可得结论； （2）取中点，过作，由线面垂直的判定与性质可证得，根据二面角平面角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，又平面，， ，，平面，平面； 取中点，过作，垂足为，连接， 分别为中点，，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 平面，， 即为二面角的平面角， ，， 又，， 即二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $