第二章2.2.3直线的一般式方程-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

2．2.3　直线的一般式方程 [学习目标]　1.明确直线方程一般式的形式特征．　2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距．　3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式．　4.初步掌握点关于直线(点)的对称问题． 授课提示：对应学生用书第61页 预习教材，思考问题 问题1　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程分别有什么特点？它们的方程能否化简为统一的形式？ 问题2　Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是什么？ 问题3　如何把直线的一般式化为斜截式？　　　 [预习自测] 1．直线y＋2＝(x－1)化为一般式方程，正确的是(　　) A．x＋3y－7＝0　　　　 B．x－3y－7＝0 C．x＋3y＋7＝0 D．x－3y＋7＝0 解析：由题意得3y＋6＝x－1， 整理得x－3y－7＝0. 答案：B 2．把直线的一般式方程x＋y－1＝0化为斜截式，正确的是(　　) A．y＝x－1 B．y＝－x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝x＋1 解析：移项得y＝－x＋1. 答案：C 3．直线x＋2y＝0在y轴上的截距为__________． 解析：在直线的方程x＋2y＝0中，令x＝0，得y＝0， 即直线在y轴上的截距为0. 答案：0 4．直线y＝k(x－2)恒过一定点，则该定点坐标为__________． 解析：直线的点斜式方程为y－0＝k(x－2)， 故直线恒过定点(2，0). 答案：(2，0) 授课提示：对应学生用书第61页 　直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． [例1]　已知直线经过点(1，－1)，斜率为2，求直线的点斜式方程，并化成一般式． 分析：将已知条件代入直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0). [解]　由直线的点斜式方程可得y－(－1)＝2(x－1)，化成一般式为2x－y－3＝0. 　1.求直线一般式方程的策略 当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需求，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． 2．直线的一般式方程与其他形式方程的互化 直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的转化，一般要利用一般式方程作为桥梁，先将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 　1.把直线l的一般式方程2x－y＋4＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． 解：把直线l的一般式方程化为斜截式y＝2x＋4， 因此，直线l的斜率k＝2，它在y轴上的截距是4. 在直线l的方程2x－y＋4＝0中，令y＝0，得x＝－2， 即直线l在x轴上的截距是－2. 由上面可得直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，4)，过A，B两点作直线(如图)，就得直线l. 　利用点斜式解决定点问题 直线y－y0＝k(x－x0)恒过定点(x0，y0)． [例2]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限； (2)求使直线l不经过第二象限的a的取值范围． 分析：将直线l的一般式方程化为点斜式方程． (1)[证明]　法一：直线l的方程可化为5y－3＝5ax－a， 即5＝5a， 所以y－＝a， 故直线l恒过定点. 又点在第一象限，故直线l总经过第一象限． 法二(分离参数法)：直线l的方程整理为a(5x－1)－5y＋3＝0. 因为a为任意实数，所以解得 故直线l恒过定点. 又点在第一象限，故直线l总经过第一象限． (2)[解]　直线l的方程可化为y＝ax＋.因为直线l不经过第二象限，所以解得a≥3，即a的取值范围为[3，＋∞). 　1.将方程化为点斜式y－y0＝k(x－x0)，其中k为参数，求得直线恒过定点(x0，y0). 2．分离参数法：将方程变形，把x，y作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点． 　2.无论m取任何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点坐标为(　　) A．(－2，1)　　　　　　 B．(－2，－1) C．(2，1) D．(2，－1) 解析：法一：直线l的方程可化为y－1＝－m(x＋2)， 故直线l恒过定点(－2，1). 法二(分离参数法)：直线l：mx＋y－1＋2m＝0可整理为m(x＋2)＋y－1＝0.因为m为任意实数，所以解得故无论m为何值，直线l恒过定点(－2，1). 答案：A 　点关于直线(点)的对称问题 1．点关于点的对称问题 点P关于点A的对称点Q满足：点A是线段PQ的中点．此类问题利用中点坐标公式求解． 设点P坐标(x1，y1)，