第一章 空间向量与立体几何 章末检测卷-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

章末检测卷(一)　空间向量与立体几何 授课提示：对应学生用书第221页 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝(　　) A．(－1，2，5)　　　　　　 B．(－1，4，5) C．(1，2，5) D．(1，4，5) 解析：因为a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝(1，2，3)＋(－2，0，2)＝(－1，2，5). 答案：A 2．已知i，j，k为单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于(　　) A．－15 B．－5 C．－3 D．－1 解析：以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz(图略)，则a＝(3，2，－1)，b＝(1，－1，2)，∴5a·3b＝15a·b＝15(3－2－2)＝－15. 答案：A 3．已知向量a＝，b＝(x，1，2)，其中x＞0.若a∥b，则x的值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：由a∥b，得＝＝，∴x2＝16.又x＞0，则x＝4. 答案：B 4．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α 解析：∵a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，∴l∥α或l⊂α. 答案：D 5．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M在AC上，且AM＝MC，N在A1D上，且A1N＝2ND.设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.－a＋b＋c B．a＋b－c C．a－b－c D．－a＋b＋c 解析：因为M在AC上，且AM＝MC，N在A1D上，且A1N＝2ND，所以＝，＝.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b，＝b－c，所以＝＋＋＝－＋＋＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝－a＋b＋c. 答案：A 6．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 解析：建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，∴＝(－1，0，－2)，＝(－2，0，1).∵·＝0，∴直线NO，AM的位置关系是异面垂直． 答案：C 7．如图，在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，则＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0).设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝1，则x＝0，z＝1，则n＝(0，1，1)为平面PAC的一个法向量，则cos 〈，n〉＝＝＝，所以〈，n〉＝60°，所以直线BC与平面PAC所成角为90°－60°＝30°. 答案：A 8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：以，，为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz(图略)， ∴＝.又＝(1，0，0)， ∴点P到直线AB的距离d＝ ＝＝＝＝＝. 答案：B 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．关于空间向量，以下说法正确的是(　　) A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 C．设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间中的一组基底 D．若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角 解析：对于A选项，根据共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的； 对于B选项，因为对空间中任意一点O，有＝＋＋，其中＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面，所以正确； 对于C选项，由{a，b，c}是空间中的一组基底，得向量a，b，c不共面，可得向量a＋b，b＋c，c＋a也不共面，所以{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间中的一组基底，所以是正确的； 对于D选项，若a·b＜0，则由〈a，b〉∈[0，π]，可