第一章 空间向量与立体几何（单元测试）-2023-2024学年高二数学教材配套全讲与精练（人教A版2019选修第一册）

第1章 空间向量与立体几何 一．选择题（共8小题） 1．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，若点D为B1C1的中点，则＝（　　） A． B． C． D． 2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在棱A1B1（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面AA1D1D内不存在直线与DE垂直； ②平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角为； ③当点E运动到棱A1B1的中点时，线段A1C上存在点P，使得BC∥平面AEP； ④设点P为线段A1C的中点，则三棱锥E﹣PBC1的体积为定值． 其中真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（　　） A． B． C． D．2 5．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（　　） A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交 6．已知空间三点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（　　） A．|AB|＝|AC| B．点P（8，2，0）在平面ABC内 C．AB⊥AC D．若，则D的坐标为 7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　） A． B．直线BD1与AC所成角的正弦值为 C．向量与的夹角是60° D．AC1⊥平面CB1D1 8．在△ABC中，，，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线BC′与平面ABD所成角的正弦值是（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共4小题） 9．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若＝，＝，＝，则下列正确的是（　　） A．＝﹣+ B．AC1的长为 C．＝++ D．cos＜，＞＝ 10．如图，AB，AC，AD两两互相垂直，三棱锥E﹣BCD是正四面体，则下列结论正确的是（　　） A．二面角D﹣BC﹣A的大小为 B．BC⊥DE C．若△BCD的中心为O，则A，O，E三点共线 D．三棱锥E﹣BCD的外接球过点A 11．已知三棱锥P﹣ABC，，△ABC是边长为2的正三角形，E为PA中点．下列结论正确的是（　　） A．异面直线CE与AB所成角的余弦值为 B．直线CE与平面ABC所成角的正弦值为 C．二面角P﹣AB﹣C的余弦值为 D．三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为6π 12．上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体ABCD﹣A1B1C1D1，设矩形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2，若O1O2⊥平面ABCD，O1O2＝6，AB＝10，AD＝2，A1B1＝8，A1D1＝4，AB∥A1B1，BC∥B1C1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，则（　　） A．这个六面体是棱台 B．该六面体的外接球体积是288π C．直线AC与A1C1异面 D．二面角A﹣BC﹣C1的余弦值是 三．填空题（共4小题） 13．在底面边长为2，侧棱长为3的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为棱BC，AB的中点，点D在棱CC1上，且CD＝2，若平面ABC1与平面AED的交线为l，则l与直线C1F所成角的余弦值为 　 　． 14．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为 　 　． 15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B和DC所成角的大小为 　 　． 16．直线l的方向向量是，平面α的法向量，若直线l∥平面α，则x＝　 　． 四．解答题（共6小题） 17．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，A1B1＝2，BB1＝． （1）证明：BC1⊥A1C； （2）求A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值． 18．已知，． （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值． 19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1垂直于底面ABC，CC1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC． （1）证明：直线BC1∥平面A