第一章 空间向量与立体几何 章末综合检测（一）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

章末综合检测（一） （时间：120分钟,满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知向量，.若与向量平行，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为向量，，所以，又 与向量 平行，所以，所以. 2．已知向量，分别是直线的方向向量和平面 的法向量，若,，则与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设 与 所成的角为 ， 则,. 因为 ，所以 . 3．如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.因为，所以，所以. 4．已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.依题意得，，则点 到直线 的距离为. 5．正四棱柱中，，，，分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设,，则,,,,,,,， 所以，,,,,, 故,，故直线 与 所成角的余弦值为. 6．在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.如图，以 为坐标原点，,,的方向分别为 轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则,,,. 从而,,. 设平面 的法向量为， 则 即 令，则，所以点 到平面 的距离为. 7．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.取 中点，连接,则，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,0,， 所以,,， 由图可知，平面 的一个法向量为. 设 与平面 所成的角为 ， 则,，故 与平面 所成角的正弦值为. 8．如图，底面是边长为2的正方形，半圆面 底面，点为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.三棱锥 的体积与 到平面 的距离成正比，故当三棱锥 的体积最大时,点 处于半圆弧的正中间位置. 当点 处于半圆弧的正中间位置时，记 的中点为，以 为原点，,,的方向分别作为 轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系. 平面 显然有一个法向量， ,,，所以,, 设 为平面 的法向量， 则 从而 令，解得,，故， 由图知二面角 为锐二面角， 因此所求余弦值为, . 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．若直线的一个方向向量为,平面 的一个法向量为,则（ ） A. B. C. D. 与 斜交 【答案】AC 【解析】选.由题意知，,所以,故 或 .故选. 10．在空间直角坐标系中，已知，点，点，且，不重合，，不重合，则（ ） A. 若，则，，满足： B. 若，则，，满足： C. 若，则，，满足： D. 若, ，则，，满足： 【答案】BCD 【解析】选.对于，，，故 错误； 对于，因为，则，故 正确； 对于，因为，则，故 正确； 对于，因为， ，则.即，故 正确. 11．在直三棱柱中， ,.点为线段中点，点为棱上的动点. 则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】选.以点 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，,,，如图1. 则，，. 对于，设平面 的法向量为，由 得 令，则，， 所以. 所以， 平面，所以 平面，故 正确； 对于，设直线 与平面 所成的角为 ，，所以，故 正确； 对于，过点 作，垂足为，如图2.又因为 平面， 平面，所以，,, 平面，所以 平面，因为, 平面， 平面，所以 平面，所以点 和点 到平面 距离相同， 因为 ,，所以,， 所以四棱锥 的体积为，故 错误； 对于，展开直三棱柱部分侧面得到矩形，连接 交 于点，如图3. 此时 有最小值，的最小值为，故 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 12．已知直线经过点，且是的一个方向向量，则点到的距离为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一： ， 故，，，设直线 与直线 所成的角为 ， 则,，故， 所以点 到直线 的距离为. 方法二：，是 的一个方向向量，点 到 的距离为 . 13．如图，在四棱台中， 平面，底面为正方形，，为线段的中点，直线与平面所成角的大小为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】根据题意,以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，,,设平面 的法向量为，则 令,得,, 则，所以， 则直线 平面，故直线 与平面 所成角的大小为. 14．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足 平面，则线段的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,，设,，， 所以，,， 因为 平面， 所以，故， ，故，其中， 故， 故当 时，，此时 满足要求，所以线段 的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）如图，在空间四边形中，已知，分别是线段，的中点. （1） 设,,，试用向量，，表示和；（5分） （2） 若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和所成角的余弦值.（8分） 【答案】（1） 解：，. （2） ， 又 和 均为等边三角形，所以. 设向量 与 的夹角为 ， 则,所以直线 和 所成角的余弦值为. 16．（本小题满分15分）如图，在长方体中，，，. （1） 求证：平面平面.（7分） （2） 线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 证明：以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，则，，，. 设平面 的法向量为， 则 取，则，，所以平面 的一个法向量为. 设平面 的法向量为， 则 取，则，，所以平面 的一个法向量为. 因为，即，所以平面 平面. （2） 解：假设线段 上存在点 使得 平面，设. 由（1）得，，平面 的一个法向量为，所以. 所以，解得.所以当 为线段 的中点时，平面. 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面 平面，，，，，，. （1） 求证：平面 平面；（6分） （2） 求点到平面的距离.（9分） 【答案】 （1） 证明：平面 平面，平面 平面，, 平面， 所以 平面， 因为 平面，所以， 因为，，, 平面，所以 平面， 因为 平面，所以平面 平面. （2） 解：取 中点为，连接，， 又因为，所以，则，因为，所以，则， 因为平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面. 以 为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，,,， 设 是平面 的法向量， 则 得 令，则，，所以， 设点 到平面 的距离为. 则， 所以点 到平面 的距离为. 18．（本小题满分17分）如图，在菱形中， ，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. （1） 求证：平面；（7分） （2） 若平面 平面，求直线与平面所成角的大小.（10分） 【答案】 （1） 证明：取线段 的中点为，连接,，因为 为线段 的中点，所以，且. 又 是 的中点，所以， 且，所以，且， 故四边形 为平行四边形, 所以， 因为 平面， 平面，所以 平面. （2） 解：因为 是 的中点， ,所以，所以. 又因为平面 平面，平面 平面， 平面,所以 平面. 以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，， 设平面 的法向量为， 则 即 取，则， 设直线 与平面 所成的角为 ， 且,, 则,， 所以直线 与平面 所成角为. 19．（本小题满分17分）已知两个非零向量,，在空间任取一点，作,，则叫做向量,的夹角，记作,.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量,都垂直，它的模是,.如图，在四棱锥中，底面为矩形， 底面，,为线段上一点. （1） 求的值；（5分） （2） 若为的中点，求二面角的正弦值；（6分） （3） 若为线段上一点，且满足，求.（6分） 【答案】 （1） 解：由题意，底面 为矩形， 所以， 因为 底面， 底面， 所以， 又因为，且, 平面， 所以 平面，又因为 平面， 所以，则在 中， 有,因为, 所以,所以. （2） 以 为坐标原点，分别以,,所在直线为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,， 又 为 的中点， 则，,， 易知平面 的一个法向量为， 设平面 的法向量为， 则 令，则,. 故平面 的一个法向量为， 设二面角 的平面角为 ，且， 则,， 故. 故二面角 的正弦值为. （3） 由（2）可得,，由题意，设，， 则， 则， 由 可知，,，且， 由， 则， 解得. 则， 则, 解得，,,， 则， 又，解得. 第115页/共250页 学科网（北京）股份有限公司 $