第一章突破真题 链接高考-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

授课提示：对应学生用书第42页 　空间几何体的度量和空间线面位置关系 1．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P­A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P 解析：选项A，当λ＝1时，点P在线段CC1上．设CP＝x(0≤x≤1)，若x＝0，则△AB1P即为△AB1C，此时△AB1P的周长为2＋1；若x＝1，则△AB1P即为△AB1C1，此时△AB1P的周长为2＋1；若0<x<1，PC1＝1－x. 在Rt△PCA中，PA＝. 在Rt△B1C1P中，PB1＝ ＝ ， 而AB1＝，所以△AB1P的周长为＋＋， 不为定值，故选项A错误； 选项B，当μ＝1时，点P在线段B1C1上． 因为B1C1∥BC，B1C1⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC， 所以B1C1∥平面A1BC， 所以直线B1C1上的任何一点到平面A1BC的距离均相等， 所以三棱锥P­A1BC的体积为定值，故选项B正确； 取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连接OO1，AO，易知OO1⊥平面ABC，AO⊥BC，以OB，OA，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B，A，A1.选项C，当λ＝时，点P在线段OO1上．设P(0，0，z)(0≤z≤1)，则＝，＝.若A1P⊥BP，则·＝0， 即z(z－1)＝0，解得z＝0或z＝1，即当λ＝时，存在两个点P，使得A1P⊥BP，故选项C错误； 选项D，当μ＝时，点P在线段MN上(M，N分别是线段BB1，CC1的中点).设P，则＝. 若A1B⊥平面AB1P，则A1B⊥AP，则·＝0， 即·＝x＋－＝0， 解得x＝－，所以P，易验证此时满足A1B⊥平面AB1P， 所以当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P， 故选项D正确． 答案：BD 2．(2022·北京卷) 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1. (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：AB⊥MN； 条件②：BM＝MN. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． (1)证明：法一：如图，设点P为AB的中点，连接PN，PM.因为N为AC的中点， 所以PN为△ABC的中位线， 所以PN∥BC. 又M为A1B1的中点， 所以PM∥BB1. 因为BB1∩BC＝B，PM∩PN＝P，BB1，BC⊂平面BCC1B1，PM，PN⊂平面MPN，所以平面BCC1B1∥平面MPN. 又MN⊂平面MPN， 所以MN∥平面BCC1B1. 法二：如图，取BC的中点D，连接B1D，DN. 在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，AB＝A1B1. 因为M，N，D分别为A1B1，AC，BC的中点， 所以B1M∥AB，B1M＝AB，DN∥AB，DN＝AB， 则B1M∥DN且B1M＝DN， 所以四边形B1MND为平行四边形，因此B1D∥MN. 又MN⊄平面BCC1B1，B1D⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1. (2)解：因为侧面BCC1B1为正方形，所以CB⊥BB1. 又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，且平面BCC1B1∩平面ABB1A1＝BB1， 所以CB⊥平面ABB1A1，而AB⊂平面ABB1A1，所以CB⊥AB. 选条件①：由(1)得B1D∥MN.因为AB⊥MN，所以AB⊥B1D. 又B1D∩CB＝D，所以AB⊥平面BCC1B1. 在三棱柱ABC­A1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直， 故以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz. 因为AB＝BC＝BB1＝2，所以B(0，0，0)，N(1，1，0)，M(0，1，2)，A(0，2，0)， 所以＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(0，－2，0). 设平面BMN的法向量为n＝(x，y，z)，由得 令x＝2，得n＝(2，－2，1). 设直线AB与平面BMN所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为. 选条件②：由(1)知B1B∥MP，CB∥NP，而CB⊥BB1，故NP⊥MP. 又因为AB＝BC＝2，所以NP＝BP＝1. 在△MPB和△MPN中，BM＝MN，NP＝BP，MP＝MP，则△MPB≌△MP