任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义-2024届高三数学一轮复习

课题：任意角和弧度制及任意角的三角函数 【知识点一、象限角及终边相同的角】 1．任意角、角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． ③终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°（k∈Z）． 2．弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 【典型例题】 【例1】下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（　　） A．2kπ＋45°（k∈Z） B．k·360°＋π（k∈Z） C．k·360°－315°（k∈Z） D．kπ＋（k∈Z） 【例2】已知角α＝45°， （1）在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； （2）设集合，判断两集合的关系． 【例3】若且，则角θ的终边所在象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 【举一反三】 1．终边在直线y＝x上的角的集合为________． 2．若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置． 【识点二、三角函数的定义】 1．任意角的三角函数定义： 设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P（x，y），那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M．由三角函数的定义知，点P的坐标为（cos_α，sin_α），即P（cos_α，sin_α），其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 4． 扇形的弧长及面积公式 弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2． 【典型例题】 【例1】已知角终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l． （1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； （2）已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； （3）若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【例3】已知角α的终边经过点P（m，－3），且cos α＝－，则m等于（　　） A．－ B． C．－4 D．4 【例4】已知角α的终边与单位圆的交点P，则tan α＝（　　） A. B．± C． D．± 【例5】若扇形的圆心角，弦长，则弧长__________ ． 【举一反三】 1．已知角α的终边上有一点P（t，t2＋1）（t>0），则tan α的最小值为（　　） A．1　　　　　 B．2 C． D． 2．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为（　　） A. B． C． D． 3．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是（　　） A．（－2,3] B．（－2,3） C．[－2,3） D．[－2,3] 4．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 【课堂测评】 1．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D． 2．下列三角函数值的符号判断错误的是（　　） A．sin165°＞0 B．cos280°＞0[来源 ]C．tan170°＞0 D．tan310°＜0 3．设θ是第三象限角，且＝－cos，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角[来源] C．第三象限角 D．第四象限角 4．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（　　） A．2　　　　　B．1　　　　　C．　　　　　D．3 5．已知点在第二象限，则的一个变化区间是（ ） A． B