第22章22.2.1 直接开平方法和因式分解法（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教学课件PPT（华东师大版）

第 22章 一元二次方程 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第1课时　直接开平方法和因式分解法 　 学 习 目 标 1 2 会用直接开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点） 灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程. (难点） 3 了解转化、降次思想在解方程中的运用. (2)因式分解有哪些方法？ 3. 说出方程(x+3)(x－5)=0的解. 2. (1)什么是因式分解？ ①提公因式法 ②公式法 平方差公式 完全平方公式 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 复习旧知 1. 平方根的概念 如果一个数x平方等于a. 那么这个数x叫做a的平方根.即x2 =a, 　x叫做a的平方根. 新课导入 试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4； (2) x2=0； (3) x2+1=0. 解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 问题引入 新课导入 知识讲解 　　一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 1 直接开平方法的概念 （2）当p=0 时，方程x2 = p有两个相等的实数根 =0； （3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 = p无实数根. 如果我们把x2=4， x2=0， x2+1=0变形为x2 = p 会是什么情形？ 一般的，对于方程 x2 = p, （1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等 的实数根 ， ； 知识讲解 (1) x2=25； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=25， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 利用直接开平方法解下列方程: 例1 知识讲解 在解方程例1(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+2)2=5 ， 解得 对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？ 于是，方程（x+2）2=25的两个根为 2 用直接开平方法解一元二次方程 知识讲解 上面的解法中 ，由方程 得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念直接求解. 知识讲解 分析：第1小题中只要将（x＋2）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 解：（1）∵x+2是7的平方根， ∴x+2= 解下列方程： ⑴ （x＋2）2= 7 ； 例2 知识讲解 分析：同第（1）小题一样地解. （2）（2x+3）2 = 16； ∴ x1=，x2=- . 解：∵2x+3是16的平方根， ∴ 2x+3 =±4. 即2x+3 =4或2x+3 =-4 知识讲解 ∴ x1= ， x2= (3) 2（ 1－3x ）2－18 = 0. 分析：第3小题先将－18移到方程的右边，再两边都除以2，再同第（1）小题一样地去解，然后两边都除以-3即可. 解：移项，得2（ 1－3x ）2=18， 两边都除以2，得（ 1－3x ）2=9. ∵ 1－3x是9的平方根， ∴ 1－3x =±3. 即1－3x =3或1－3x =-3. 知识讲解 1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=p或（mx＋n）2= p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x= 或mx＋n= 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. 注 意 知识讲解 方程 小亮是这么解的： 把方程两边同除以 ，得 所以 小亮把方程两边同除以x，而x有可能等于零， 所以小亮的解法不对 . 怎么少了一个根？ 小亮的解法对吗？ 为什么？ 3 因式分解法解一元二次方程 知识讲解 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 （解两个一次方程，得出原方程的根） 这种解法是不是很简单？ x2 -7x =0 ① x(x-7) =0 ② x =0 x-7=0 知识讲解 通过因式分解使一元二次方程化为两