第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（华东师大版）

第24章　解直角三角形 24.2　直角三角形的性质 教学目标 1.掌握直角三角形边、角的性质. 2.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“含30 °的直角三角形”的性质. 3.会运用直角三角形的性质解决有关问题. 教学重难点 重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明方法. 教学过程 复习巩固 直角三角形两锐角、三边之间的关系： 如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°. 两锐角关系：A+∠B ＝90°. 三边关系：AC2 + BC2 ＝ AB2. 导入新课 活动1　（小组讨论，教师点评) 【探究】任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？ 我们来验证一下！ 教师引出课题： 24.2　直角三角形的性质 探究新知 探究点一　直角三角形斜边上的中线的性质 活动2　（小组讨论，教师点评) 画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系. 小组讨论结果：发现CD恰好是AB的一半. 师：下面让我们用推理证明这一猜想. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线. 求证：CD＝AB. 【探索思路】中线辅助线作法：将中线延长一倍. 延长CD到点E，使DE＝CD，连结AE、BE. ∵ CD是斜边AB的中线， ∴ AD＝BD. 又∵ DE＝CD， ∴ 四边形ACBE是平行四边形. 又∵ ∠ACB＝90°， ∴ 四边形ACBE是矩形， ∴ CE＝AB， ∴ . 【总结】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 数学语言表述为： 在Rt△ABC中， ∵ CD是斜边AB上的中线， ∴ CD＝AD＝BD＝AB. （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评） 典例讲解（师生互动） 例1　如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，M，N分别是BC，ED的中点，试说明：MN⊥DE. 【探索思路】(引发学生思考)观察法：M为BC的中点，BD，CE是高，可得到直角三角形，联想到直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此连结EM，DM得到EM＝DM，再根据等腰三角形的三线合一的性质使问题得证. 【证明】连结EM、DM. ∵ BD、CE是高，M是BC的中点， ∴ 在Rt△BCE和Rt△BCD中，EM＝DM. ∴ △DEM是等腰三角形. 又∵ N是ED的中点， ∴ MN⊥ED. 【注意】推理过程中要有理有据. 【即学即练】（小组讨论，教师点评） 如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD. 【证明】如图，连结BE、DE. ∵ ∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴ BE＝AC＝DE. ∵ F是BD的中点， ∴ EF⊥BD. 【题后总结】(学生总结，老师点评)由中点我们一般可以联想到中位线和直角三角形斜边上的中线.熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键. 探究点二　含30°角的直角三角形的性质（拓展） 【问题】　 用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？ 【操作】 【互动】拼出的三角形中有等边三角形吗？说说你的理由？由此你想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 【猜想】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则有BC＝AB. 【证明】如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连结AD. ∵ ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴ ∠ACD＝90°，∠B＝60°. ∵ AC＝AC， ∴ △ABC≌△ADC（SAS）. ∴ AB＝AD（全等三角形的对应边相等）. ∴ △ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）. ∴ AB＝BD. ∴ BC＝BD＝AB. 【总结】在直角三角形中， 如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴ BC＝AB(在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半). 合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评） 典例讲解（师生互动） 例2 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝15°， CD是腰AB上的高，求证：CD＝AB. 【探索思路】(引发学生思考) 根据已知条件AB＝AC，∠B＝15°，结合图形，可利用三角形外角的定理求出∠DAC＝30°.联想到含30°角的直角三角形的性质. 【解】在△ABC中， ∵ AB＝AC，∠B＝15°(已知)， ∴ ∠B＝∠ACB＝15°（等边对等角）， ∴ ∠DAC＝∠B+∠ACB＝ 15°+15°＝30°. ∵ CD是AB边