专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练) 目录 一、典型题型 1 题型一：插入新数列构成等差 1 题型二：插入新数列构成等比 3 题型三：插入新数混合 4 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 5 一、典型题型 题型一：插入新数列构成等差 例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足： (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由. 例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． (1)求数列的通项公式． (2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由． 例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值. 例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； 例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且. (1)求及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和. 题型二：插入新数列构成等比 例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（    ） A．30 B．91 C．273 D．820 例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于 . 例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论 成立． 例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题 (1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn ． (2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式． 例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列. (1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 题型三：插入新数混合 例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和． 例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和. 例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）. (1)求数列的通项公式； (2)试确定的值，使得数列为等差数列； (3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求. 例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值. 例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求数列的通项公式； (2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和. 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 一、单选题 1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（    ） A．43 B．44 C．75 D．76 2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（    ） A