专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：等差型 2 题型二：无理型 5 题型三：指数型 8 题型四：通项裂项为“”型 11 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 13 一、必备秘籍 常见的裂项技巧 类型一：等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 类型二：无理型 ① 如： 类型三：指数型 ① 如： 类型四：通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 二、典型题型 题型一：等差型 例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． (1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列满足，. (1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由； (2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：. 例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列的前n项和． 题型二：无理型 例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)当数列的公差不为0时，记数列的前n项和为，求证：. 例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求不等式的解集． 例题3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前99项和. 例题4．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，． 题型三：指数型 例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，数列的前项和为，求证：． 例题2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 例题4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列满足（且），且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：. 题型四：通项裂项为“”型 例题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 例题2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：，. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求的前n项和. 例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 一、单选题 1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知正项数列的前n项和为，且，令，则（    ） A．7 B．8 C．17 D．18 4．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高三专题练习）等差数列各项均为正数，首项与公差相等，，则的值为（    ）