第43讲 双曲线及其性质（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第43讲 双曲线及其性质（精讲） 题型目录一览 ①双曲线的定义及其应用 ②求双曲线的标准方程 ③双曲线的几何性质 ④双曲线的渐近线 ⑤双曲线的离心率 一、知识点梳理 一、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线；（3）时，点的轨迹不存在．注：①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 二、双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【常用结论】 1.双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 2.点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． 3.双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 4.焦点三角形 双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 5.双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 二、题型分类精讲 题型一 双曲线的定义及其应用 策略方法 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系． 【典例1】（单选题）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．8 3．（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支 5．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别记为，，已知，，为坐标原点.则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．7 B． C．8 D． 8．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B． C． D．30 9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 11．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 12．（2023·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ）