24.3 正多边形和圆（讲+练，7题型）-【题型分类归纳】2022-2023学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.3 正多边形和圆 1、正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 3、正多边形的中心、半径、中心角、边心距：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 4、画任意的正边形的方法：由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。 （1）画一个边长为1.5cm的正六边形的步骤：可以以1.5cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形。 注：利用这种方法，可以画出任意的正边形。 （2）对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作。 例如，由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形； 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形。 题型一 求正多边形的中心角 【例1】下列图形中，旋转后能与原图形重合的是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形 【变式1-1】如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，多边形为内接正五边形，与相切于点，则 ．    【变式1-3】如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为点G，则正六边形的中心角 ，边心距 ． 【变式1-4】如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    题型二 已知正多边形的中心角求边数 【例2】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-1】一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的内角和为 度． 【变式2-2】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【变式2-3】如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【变式2-4】如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是 ． 题型三 正多边形和圆 【例3】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 【变式3-1】如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】有一个亭子的地基如图所示，它是一个半径为的正六边形，它的面积是 （保留根号）．    【变式3-3】如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    【变式3-4】正六边形内接于，正六边形的周长是24，则的半径是 ． 题型四 尺规作图—正多边形 【例4】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【变式4-1】请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【变式4-2】已知：射线 求作：，使得点在射线上，，． 作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵ 为⊙的直径， ∴__________． ∵， ∴等边三角形． ∴． ∵点，都在⊙上， ∴ ．（ ）（填推理的依据） ∴． 即为所求的三角形． 【变式4-3】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【变式4-4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于