2024届高三数学一轮复习讲义之排列与组合、二项式定理

课题：排列与组合、二项式定理 知识点一、排列与组合 1． 排列的相关概念及排列数公式 (1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示． (3)排列数公式：这里并且 (4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘)．排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定． 2．组合的相关概念及组合数公式] (1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示． (3)组合数的计算公式：，由于，所以． (4)组合数的性质：①；②；③． 【典型例题】 【例1】四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ） A．72 B．96 C． 144 D．240 【例2】某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（ ）种 A．30 B．600 C．720 D．840 【例3】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A．24 B．48 C．60 D．72 【例4】有4名优秀大学毕业生被某录用。该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（ ） A．120 B．240 C．360 D．480 【例5】6人站成一排，其中甲不在两端，甲、乙不相邻的站法种数为（ ） A．72 B．120 C．144 D．288 【例6】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 【举一反三】 1．从6名学生中，选出4个分别从事A、B、C、D项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作，则不同的选派方案共有（ ） A．96种 B．180种 C．240种 D．280种 2．用1、2、3、4四个数字可以组成百位上不是3的无重复数字的三位数的个数是 ． 3．6名志愿者选4人去“鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（ ） A．60 B．70 C．80 D．90 4．计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有_____________种不同选法． 6．把四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ） A．36种 B．30种 C．24种 D．18种 知识点二、二项式定理 1． 二项式定理 ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；． 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为． (2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为． (3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到． (4)二项式的系数从，，一直到，． 3． 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，． (2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式