2024届高三数学一轮复习讲义之立体几何的综合运用2(理科)

课题：立体几何的综合运用2 【典型例题】 【例1】在长方体的中点。 ( A B C O A 1 B 2 C 1 O 1 D E )（1）求直线 （2）作 【例2】如图，四棱锥中，平面平面， ， ． （1）证明： ； （2）若，求二面角的余弦值． 【举一反三】 1．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，四边形ABCD 是矩形. E、F分别是AB、PD的中点.若PA=AD=3，CD=. （1）求证：AF//平面PCE； （2）求点A到平面PCE的距离；（3）求直线FC与平面PCE所成角的大小。 2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，、分别是、的中点． （Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角B－CE－F的大小． 【课堂巩固】 1．如图已知，点P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD，，， 。 ( P A B C D E ) （1）求证：； （2）求直线PB与平面ABE所成的角； （3）求A点到平面PCD的距离。 2．四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90，AB＝4，CD＝1，AD＝2． （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）求异面直线PA与BC所成的角． 【课后练习】 正确率：________ 1．如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且． （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）若，求的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值． 2．四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，。 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小。 ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课题：立体几何的综合运用2 【典型例题】 【例1】在长方体的中点。 ( A B C O A 1 B 2 C 1 O 1 D E )（1）求直线 （2）作 【答案】 【解析】略 【例2】如图，四棱锥中，平面平面， ， ． （1）证明： ； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析;（2）. 【解析】【试题分析】（1）先借助题设中的面面垂直的性质证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）先确定三棱锥的底为，再求其高，然后运用三棱锥的体积公式探求： （1）如图，连接交于点， ∵，即为等腰三角形， 又平分， 故， ∵平面底面，平面底面， ∴平面，因平面， 所以. （2）如图， 记交于点，作于点，则底面， 因为， ， 所以， ， 由，又， 得，故. 点睛：立体几何是高中数学的重要内容和知识，也是高考重点考查的考点。这类问题的常常设置两个问题，一是空间线面位置关系的推证；二是空间角度距离的计算。解答线面位置关系的推证问题时，充分借助题设条件与线面、面面位置关系的判定定理和性质定理进行推断；求解角度、距离问题时，要么依据角度、距离的定义构造平面几何图形进行求解，要么建立空间直角坐标系运用空间向量的有关知识分析探求。 【举一反三】 1．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，四边形ABCD 是矩形. E、F分别是AB、PD的中点.若PA=AD=3，CD=. （1）求证：AF//平面PCE； （2）求点A到平面PCE的距离；（3）求直线FC与平面PCE所成角的大小。 【答案】（2） （3） 【解析】：解法一：（1）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，则FG// ( = ) 又由已知有 ∴四边形AEGF是平行四边形. 平面PCE，EG 4分 （2）由（1）知点A到平面PCE的距离等于点F到 平面PCE的距离，所以只要求出点F到平面PCE的距离即可。 又已知得：. . . . 8分 （3）由（2）知 12分 解法二：如图建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0） 2分 （1）取PC的中点G，连结EG， 则 , 即，又 4分 （2）设平面的法向量. ，取 又，故到平面的距离为 8分 （3） 直线FC与平面PCE所成角的大小为. 12分 2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，、分别是、的中点． （