专题3-7 平面向量线性运算及模与数量积最值16题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题 3.7 平面向量线性运算及模与数量积最值 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】 向量坐标：平行 · 【题型二】 三点共线向量法求参 · 【题型三】 平行与三角函数恒等变形 · 【题型四】 数量积：坐标法 · 【题型五】 坐标运算求向量夹角 · 【题型六】 数量积：求模型 · 【题型七】 复合型夹角计算型 · 【题型八】 向量线性运算：鸡爪型运算 · 【题型九】 线性运算：“中点”风帆型 · 【题型十】 线性运算：四边形计算型 · 【题型十一】线性运算：两线交点型 · 【题型十二】投影计算 · 【题型十三】平行型最值：均值 · 【题型十四】求夹角型最值 · 【题型十五】投影行最值 · 【题型十六】数量积型最值 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 一、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量. (没有位置、不能比较大小) (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 二、向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以为始点，为终点的有向线段记作 ，的长度记作.用有向线段表示向量，读作向量；(有向线段的三要素：起点、方向、长度) ②用小写字母表示：、. (印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头) 三、向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段. 四、向量的模：向量的大小――长度称为向量的模，记作.(能比较大小) 五、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作. (注意与的含义与书写区别) 六、单位向量：长度为一个单位长度的向量.与非零向量共线的单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 七、平行向量： (1)若非零向量、的方向相同或相反，则，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行. 说明：综合(1)(2)才是平行向量的完整定义；三点、、共线、共线； 向量平行无传递性，即，不能推出(可能为). 注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同. （3）、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). 说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； ②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 八、相等向量：若非零向量、方向相同且模相等，则向量、是相等向量. (1)相等向量：模相等，方向相同； (2)相反向量：模相等，方向相反. 说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 九、求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； （2）坐标法：若非零向量、，则. 热点考题归纳 【题型一】向量坐标：平行 【典例分析】 1.（2023春·北京海淀·高三统考）已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2.（2020秋·江苏苏州·高三苏州市苏州高新区第一中学校考开学考试）已知，，若，则的值为（    ） A． B．7 C． D．以上结果都不对 【提分秘籍】 共线向量： 共线定理：a∥b⇔___ a＝λb___⇔___ x1y2＝x2y1 _； 【变式演练】 1.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，且，则实数m的值（    ） A． B．1 C． D． 2.（2023春·江苏宿迁·高三统考）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3.（2021秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考）已知向量，，，则“”是“ ”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【题型二】三点共线向量法求参 【典例分析】 1.（2023春·河北邯郸·高三统考）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A．－16 B．16 C． D． 2.（2022春·高三校考课时练习）已知A，B，C是三角形的三个顶点，且向量，则实数m满足的条件为 . 【提分秘籍】 1.用向量法求三点共线，则任何两点所对应的向量都互相平行。 2.共线第二定理：若A、B、C三点共线⇔＝x＋y且x＋y＝1． 【变式演练】 1.（2023春·江苏泰州·高三校考）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B