2024届四川省高三数学一轮复习讲义之极坐标与参数方程

课题：极坐标与参数方程 知识点一、极坐标 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)． 一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π) 过极点，倾斜角为α的直线 (1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos_θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a(0＜θ＜π) 【典型例题】 【例1】若点极坐标为，则点的直角坐标是( ) A. B. C. D. 【例2】点M的直角坐标化成极坐标为（ ） A. B. C. D. 【例3】在极坐标系中，已知圆的方程为，则圆心的极坐标为( ) A. B. C. D. 【例4】在极坐标系中，点到直线的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三】 1．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，）的直角坐标是（ ） A．（2，1） B．（，1） C．（1，） D．（1,2） 2．曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（ ） A. B. C. D. 3．在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（ ） A．2 B． C． D． 知识点二、参数方程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 【典型例题】 【例1】把参数方程（为参数）化成普通方程是（ ） A. B. C. D. 【例2】下列在曲线上的点是（ ） A． B． C． D． 【例3】已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为 ． 【举一反三】 1．参数方程（为参数）化为普通方程为______________． 2．曲线(a为参数)，若以点O(0，0)为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是____________． 3．若直线为参数与曲线为参数，有且只有一个公共点，则 ． 【典型例题】 1．极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ） A．直线、直线 B．圆、直线 C．直线、圆 D．圆、圆 6．已知直线l的极坐标方程为2ρsin （θ-）＝，点A的极坐标为，则点A到直线l的距离为（ ） A． B. C． D． 3．在极坐标系中，设圆C：与直线交于A，B两点，求以AB为直