第二讲 四 渐开线与摆线-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

四　渐开线与摆线 目标 定位 1.了解圆的渐开线的参数方程． 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程． 3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤． 4.通过阅读材料，了解其他曲线．应用计算机展现多种生成曲线，并感受这些曲线的美. 1．以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴(开始时绳子的外端位于点A)，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为______________________． 2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为______________________________. 自我校对　1.(φ是参数) 2.(φ是参数) 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力．由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形．设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程． 除了我们已经了解的平摆线、内外摆线，还有各种各样的摆线，它们已被应用在图案设计、摆线齿轮、少齿差行星减速器、摆线转子油泵、旋转活塞发动机的缸体曲线以及多边形切削等方面．如果你有兴趣，可以查找相关资料，进一步了解摆线的知识. 题型一　圆的渐开线的参数方程及其应用[来源:学科网ZXXK] 　求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 思路点拨　运用向量知识，结合渐开线的定义求解即可． 【解析】　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ 作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)， 由几何知识知∠MAB=θ， =(4cos θ+4θsin θ，4sin θ-4θcos θ) =[4(cos θ+θsin θ),4(sin θ-θcos θ)] 这就是所求圆的渐开线的参数方程． 【方法技巧】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系． 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程． 1．一半径为r的圆C的圆心在过原点倾斜角为α的一条直线上运动，圆C上一点P沿圆C做逆时针匀速圆周运动，且圆心C和P点的运动速度相等，当C的中心在坐标原点时，P在x轴的正半轴上，求点P的轨迹的参数方程． 解析　设圆C的圆心在O(x′，y′)时P点的坐标为(x，y)，取∠NO′P＝θ为参数，O′N与圆C交于K，O′的起始位置是O，P的起始位置是K，由于运动速度相同， ∴|OO′|＝＝rθ. 为所求． 答案　 题型二　摆线的参数方程及其应用 　设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴． 思路点拨　根据轨迹特点写出轨迹的参数方程，再结合参数方程的特点找到最大值及对称轴． 【解析】　轨迹曲线的参数方程为 (0≤t≤2π) 即t＝π时，即x＝8π时，y有最大值16. 第一拱(0≤t≤2π)的对称轴为x＝8π. 【方法技巧】 摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方． 2．求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度为α.(α为参数，单位：弧度) 解析　当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)， 向量　＝(2α，2)， 向量　＝(2sin α，2cos α)， ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此　＝＋ ＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α),2(1－cos α))， 动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)， 所以， 这就是所求摆线的参数方程． 答案　 1．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是 A．(6,0)　　　　　 B．(6,6π) C．(6，－12π) D．(－π，12π) 答案　C 2．圆(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是[来源:Zxxk.Com] A．π B．3π C．6π D．12π 解析