高中数学选修4-4第二讲备课综合：《直线的参数方程》（教案2+配套课件，3份）

直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数 （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标 之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为 ，那么： ① 为数轴的单位方向向量， 方向与数轴的正方向一致，且 ；②当 与 方向一致时（即 的方向与数轴正方向一致时）， ； 当 与 方向相反时（即 的方向与数轴正方向相反时）， ； 当M与O重合时， ； ③ ．教师用几何画板软件演示上述过程． 【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工 问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？ （2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？ 教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线 上的定点 为原点，与直线 平行且方向向上( 的倾斜角不为0时)或向右（ 的倾斜角为0时）的单位向量 确定直线 的正方向，同时在直线 上确定进行度量的单位长度，这时直线 就变成了数轴．于是，直线 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系． 【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备． 3. 选好参数，柳暗花明 问题（1）：当点M在直线 上运动时，点M满足怎样的几何条件？ 让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线 当成数轴后，直线 上点M运动就等价于向量 变化，但无论向量怎样变化，都有 ．因此点M在数轴上的坐标 决定了点M的位置，从而可以选择 作为参数来获取直线 的参数方程． 【设计意图】明确参数． 问题（2）：如何确定直线 的单位方向向量 ？ 教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量． 教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出 ，从而明确直线 的方向向量可以由倾斜角 来确定． 当 时， ，所以直线 的单位方向向量 的方向总是向上． 【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想． 4. 等价转化，深入探究 问题：如果点 ,M的坐标分别为 ，怎样用参数 表示 ？ 教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下： 因为 ，（ ）， ， ，所以存在实数 ，使得 ，即 ． 于是 ， ， 即 ， ． 因此，经过定点 ，倾斜角为 的直线的参数方程为 （ 为参数）． 教师提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ ②参数 的取值范围是什么？ ③参数 的几何意义是什么？ 总结如下：① ， 是常量， 是变量； ② ； ③由于 ，且 ，得到 ，因此 表示直线上的动点M到定点 的距离．当 的方向与数轴（直线）正方向相同时， ；当 的方向与数轴（直线）正方向相反时， ；当 时，点M与点 重合． 【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义． 三、运用知识，培养能力 例1.已知直线 与抛物线 交于A,B两点，求线段AB的