精品解析：上海市格致中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题

格致中学高三月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则____________（用列举法表示） 2. 已知复数满足（虚数单位），则___________. 3. 已知，则__________． 4. 已知幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是__________． 5. 在中，若，，，则_________. 6. 若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成角为，则该圆锥的体积为______． 7. 在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答） 8. 若随机变量服从正态分布，，则____________. 9. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______. 10. 已知，，函数的图像与y轴相交于点､与函数的图像相交于点，的面积为(为坐标原点)，则___________. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则__________. 12. 对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得成立，则实数的取值范围是_________. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（ ） A. 花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B. 花瓣长度和花萼长度负相关 C. 花萼长度为7cm该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 15. 伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当，时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ） A. B. C. D. 16. 双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题： ①是奇函数； ②的图象过点或； ③的值域是； ④函数有两个零点． 则其中所有真命题的序号为（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ①②④ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，P是棱CD上一点，AB＝2，AD＝，AA1＝3，CP＝3，PD＝1. （1）求异面直线A1P与BC1所成的角的余弦值； （2）求证：PB⊥平面BCC1B1. 18. 函数在一个周期内的图像如图所示，为图像的最高点，为图像与轴的交点，且为正三角形. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 19. 某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了件，它们的质量指标值统计如下： 质量指标值 甲车间（件） 15 20 25 31 9 乙车间（件） 5 10 15 39 31 附：，其中 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10828 （1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表（表中数据单位：件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异. 合计 甲车间 乙车间 合计 20. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于、、、，且，分别是弦，的中点. （1）求椭圆的方程. （2）求证：直线过定点. （3）求面积的最大值. 21. 已知函数，，． （1）求的最大值； （2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 格致中学高三月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则____________（用列举法表示） 【答案】 【解析】 分析】解不等式得到，从而求出交集. 【详解】，