2.4.1直线与圆锥曲线的交点 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.1 直线与圆锥曲线的交点 结合实例，掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。 会运用数形结合的思想将交点问题转化为方程根的问题来研究，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次。 能根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数的值或范围，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次。 复习回顾 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 d1＜r d2 = r d3＞r 代数法 几何法 d为圆心到直线的距离 联立直线与圆的方程 利用判断交点个数 ＞0，有两个交点； （2）=0，有两个交点； （3）＜0，有0个交点； 直线与圆的位置关系的判断方法 环节一 直线与椭圆 交点个数问题 思考1：直线与椭圆的位置关系能借鉴直线与圆的位置关系进行判断吗？ 1、直线与圆锥曲线交点个数问题 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 代数法 几何法 联立直线与圆的方程 利用判断交点个数 ＞0，有两个交点； （2）=0，有一个交点； （3）＜0，有0个交点； d1＜r d2 = r d3＞r 代数法 联立直线与椭圆的方程 利用判断交点个数 ＞0，有两个交点； （2）=0，有一个交点； （3）＜0，有0个交点； 椭圆中没有半径 r，不能用几何法进行判断 代数法可以直接用来判断直线与椭圆的位置关系吗？ 思考2：你能从几何图形的角度判断代数法能不能判断直线与椭圆的位置关系吗？ 1、直线与圆锥曲线交点个数问题 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点) 可以用代数法来判断直线与椭圆的位置关系！ 归纳：直线与椭圆的位置关系（交点个数）问题 1、直线与圆锥曲线交点个数问题 的情况 方程组解的个数 交点个数 直线与椭圆的位置关系 ＞0 =0 ＜0 方程组有两个解 方程组有一个解 方程组有零个解 两个交点 一个交点 零个交点 相交 相切 相离 例 1 判断直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系. 解析：联立消去y，得3x2＋2x－1＝0， Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交. 例 2 直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，求m的值。 解析：由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝4m2－8（m2－4）＝0，得m2＝8，∴m＝±2. 例 3 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系. 解答：由消去y，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， Δ＝64m2－4×5×（4m2－4）＝16（5－m2）， 当Δ＞0时，m2＜5， ∴－＜m＜，此时直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，m2＝5， ∴m＝±，此时直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，m2＞5， ∴m＞或m＜－，此时直线与椭圆相离. 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，求k的取值范围. 例 4 解析：由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋， 代入椭圆方程得＋（kx＋）2＝1.整理得（＋k2）x2＋2kx＋1＝0，① 直线l与椭圆有两个不同的交点等价于Δ＝8k2－4（＋k2）＝4k2－2＞0， 解得k＜－或k＞. 故k的取值范围为（－∞，－）∪（，＋∞）. 直线y＝kx＋2与焦点在x轴上的椭圆＝1（b＞0）恒有两个公共点，求实数b的取值范围 例 5 解析：直线恒过定点（0，2）， 要保证直线与椭圆有两个公共点则定点需在椭圆内， 所以＋＜1，解得b＞2， 又因为椭圆的焦点在x轴上，所以b＜a＝4， 即b∈（2，4）. 环节二 直线与双曲线 交点个数问题 思考1：直线与双曲线的位置关系也可以用代数法解决吗？ 2、直线与双曲线交点个数问题 y O x O x y O x y O x y 相离：无公共点 相切：1个切点 相交：2个交点 (交于左支/右支/异支) 相交：1个交点 (与渐近线平行) 不能简单的用代数法判断直线与双曲线的位置关系！ 思考2：如何改进代数法让它能区分出相交状态下的交点个数？ 2、直线与双曲线交点个数问题 (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。 重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点） Δ=0 直线与双曲线相切 Δ<0 直线与双曲线相离 2、直线与双曲线交点个数问题 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点） 重合（0个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 二次项系数为0 二次项系数不为0 例 1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），试讨论实数k的取值范