21 函数的概念与性质常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■张文伟 赵 昆 函数是高中数学的重要内容,也是每年 高考的必考内容。在近几年的高考试题中, 函数的概念与性质,幂函数的应用,分段函数 问题等,一直都是常考点,且常考常新。下面 就函数的概念与性质的常见典型考题进行举 例分析。 题型一:函数概念的理解 判断对应关系是否构成函数的关键:一 看自变量x 的取值是否任意,二看对应的y 是否唯一。判断两个函数是否相等,要根据 函数的三要素来判断,即定义域、对应关系、 值域,当三者都一致时,两个函数才是相同的 函数。 例1 下列对应关系是从集合A 到集合 B 的函数的是( )。 A.A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x| B.A=R,B={x|x>0},f:x→y=lnx C.A=Z,B=N,f:x→y= x D.A=Z,B=N,f:x→y=x2 解:对 于 A,当 x=0时,|0|=0,即 |x|>0不成立,不是函数关系,A错误。对 于B,y=lnx 的定义域是(0,+∞),不是 R, 当x≤0时,y=lnx 无意义,不是函数关系, B错 误。对 于 C,y= x 的 定 义 域 是[0, +∞),不是Z,当x 是负整数时,y= x无意 义,不是函数关系,C错误。对于 D,A=Z, B=N,f:x→y=x2 是函数关系。应选D。 跟踪训练1:下列四组函数中,表示同一 函数的是( )。 A.f(x)= x ,g(x)= x2 B.f(x)= x ,g(x)=(x)2 C.f(x)= x2-1 x-1 ,g(x)=x+1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1 提示:对于 A,f(x)=|x|,g(x)= x2=|x|,两个函数的定义域和对应关系 都相同,表示同一函数。对于B,f(x)的定 义域为 R,g(x)的定义域为[0,+∞),两个 函数的定义域不同,不是同一函数。对于C, f(x)= x2-1 x-1 的定义域为{x|x≠1},g(x)= x+1的定义域为 R,两个函数的定义域不 同,不是同一函数。对于D,f(x)的定义域 为{x|x≥1},g(x)的定义域为{x|x≤-1 或x≥1},两个函数的定义域不同,不是同一 函数。应选A。 题型二:求抽象函数的定义域 函数的定义域指的是自变量的取值范 围;求函数f[g(x)]和f[h(x)]的定义域, 可利用g(x)和h(x)的值域相等,列不等式 求出x 的取值范围;已知函数f(x)的定义域 为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由 不等式a≤g(x)≤b 求得;已知复合函数 f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的 定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域。 例2 已知f(x+1)的定义域为(2,4)。 (1)求f(x)的定义域。 (2)求f(2x)的定义域。 解:(1)因为f(x+1)的定义域为(2,4), 所以2<x<4,所以3<x+1<5,即f(x)的 定义域为(3,5)。 (2)因为f(x)的定义域为(3,5),所以 3<2x<5,所以 3 2<x< 5 2 ,即f(2x)的定义 域为 3 2 ,5 2 。 跟踪训练2:设f(x)的定义域为[0,2], 则函数f(x2)的定义域是 。 提示:因为函数y=f(x)的定义域为 0,2 ,所以函数y=f(x2)满足x2∈ 0,2 , 即0≤x2≤2,解得- 2≤x≤ 2,所以函数 14 经典题突破方法 高一数学 2023年10月 {#{QQABLYAQogCAABAAAQhCUwVACkIQkBCACCoGAAAIoAAAAANABAA=}#} y=f(x2)的定义域是 - 2,2 。 题型三:求函数的解析式 求函数解析式的四种常用方法:待定系 数法,当已知函数类型时,常用待定系数法; 代入法,已知y=f(x)的解析式,求函数y= f[g(x)]的解析式时,可直接用新自变量 g(x)替换y=f(x)中的x;换元法,已知 y=f[g(x)]的解析式,求y=f(x)的解析 式,可用换元法,即令g(x)=t,反解出x,然 后代入 y=f[g(x)]中,求 出 f(t)即 得 f(x);构造方程组法,当同一个对应关系中 的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒 数关系时,可构造方程组求解。 例3 根据下列条件,求f(x)的解析式。 (1)f(x)是一次函数,且满足3f(x+1) -f(x)=2x+9。 (2)f(x+1)=x2+4x+1。 (3)2f 1 x +f(x)=x(x≠0)。 解:(1)由题意可设f(x)=ax+b(a≠ 0)。因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,所以 3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,即2ax+ 3a+2b=2x+9,所以 2a=2, 3a+2b=9,