20 常见函数的值域或最值的经典求法-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■陈升强 函数的值域是函数的三要素之一,求函 数的值域,关键是依据解析式的结构特征,选 择合理的思维方法,常用的经典求法有:单调 性法,配方法,分离常数法,基本不等式法和 判别式法。下面归纳提炼之。 方法1:配方法 例1 定义在R上的函数f(x)=(x+ 1)(x+2)(x+3)(x+4)的值域是 。 f(x)=(x+1)(x+2)(x +3)(x+4)=(x+1)(x+4)(x +2)(x+3)=(x2+5x+4)(x2+5x+6)= (x2+5x)2+10(x2+5x)+24=(x2+5x+ 5)2-1。因为x2+5x+5= x+ 5 2 2 - 5 4≥ - 5 4 ,所以(x2+5x+5)2≥0,所以(x2+5x +5)2-1≥-1,即函数f(x)的值域是[-1, +∞)。 提炼:先利用变量之间的关系,将函数配 方成关于整体变量的二次函数,注意整体变 量的取值范围,再结合二次函数在区间上的 图像与性质求出函数的值域。 方法2:基本不等式法 例2 (1)函数f(x)= x x2+1 的值域为 ( )。 A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.-∞,- 1 2 ∪ 12,+∞ D.- 1 2 ,1 2 (2)函数y= x2+2x+2 x+1 的值域是 。 先合理分类,变形凑定值, 再借助不等式求值域。 (1)当x=0时,f(0)=0;当x>0时, 0<f(x)= 1 x+ 1 x ≤ 1 2 x· 1 x = 1 2 ,当且仅 当x=1时等号成立,这时0<f(x)≤ 1 2 ;当 x<0时,f(x)= x x2+1 <0,且 f(x)= - 1 (-x)+ 1 -x ≥- 1 2 (-x)· 1 -x =- 1 2 , 当且仅当x=-1时等号成立,这时- 1 2≤ f(x)<0。 综上所述,此函数的值域为 - 1 2 ,1 2 。 应选D。 (2)函数y= x2+2x+2 x+1 = (x+1)2+1 x+1 =(x+1)+ 1 x+1 。 当x+1>0,即x>-1时,y=(x+1) + 1 x+1≥2 ,当且仅当x+1= 1 x+1 ,即x=0 时等号成立;当x+1<0,即x<-1时,y= (x+1)+ 1 x+1≤-2 ,当 且 仅 当 x+1= 1 x+1 ,即x=-2时等号成立。 综上所述,此函数的值域为(-∞,-2] ∪[2,+∞)。 提炼:形 如 y = ex+f ax2+bx+c 或 y = ax2+bx+c ex+f 的函数,先配凑成y=ax+ b x 的 形式,再利用基本不等式求最值,进而得到函 数的值域。 方法3:分离常数法,求分式类函数的值域 例3 (1)函数y= 1-x2 2+x2 的值域是 。 (2)函数y= 4x- 2 x+1 的值域为 。 93 经典题突破方法 高一数学 2023年10月 {#{QQABJYAUggigAABAAAgCUwEwCkIQkBAAAKoGQBAEsAAAwANABAA=}#} (1)函数y= -(x2+2)+3 2+x2 = -1+ 3 2+x2 。因 为 2+x2≥2,所 以 0< 3 2+x2 ≤ 3 2 ,所以-1<-1+ 3 2+x2 ≤ 1 2 ,所 以函数y= 1-x2 2+x2 的值域是 -1, 1 2 。 (2)函数y= 4x- 2 x+1 = 4x+4-4- 2 x+1 = 4x+4 x+1- 4+ 2 x+1=4- 4+ 2 x+1 。因为u= 1 x 的 值域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以v= 1 x+1 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以t= 4+ 2 x+1 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞), 所以 y= 4x- 2 x+1 的值域为(-∞,4)∪(4,+∞)。 提炼:形如y= cx+d ax+b 的分式类函数,由 cx+d ax+b= c a (ax+b)+d- bc a ax+b = c a + d- bc a ax+b , 结合x 的取值范围,确定 d- bc a ax+b 的取值范围, 从而确定原函数的值域。 方法4:换元法 例4 函数f(x)=x2-1的定义域为 [0,4],则函数y=f(x2)+[f(x)]2 的值域 为( )。 A.- 1 2 ,992 B.-12,24 C.- 1 2 ,4 D.-12,4-22 函数f(x)=x2-1的定义 域为[0,4],在 y=f(x2)+ [f(x)]2 中,由 0≤x2≤4, 0≤x≤4, 解得0≤x≤2,即 y=f(x2)+[f(x)]2 的定义域为[0,2]。令 t=x2,则t∈[0,4],所 以 y=f(x2)+ [f(x)]2=x4-1+