19 既要重视“形”，也要关注“数”——谈幂函数中的应用问题-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

———谈幂函数中的应用问题 ■任 远 幂函数是重要的基本初等函数之一。熟 练掌握幂函数的概念、图像与性质是解决幂 函数问题的关键。下面结合实例对幂函数的 常见题型加以展示,希望对同学们的学习有 所帮助。 一、幂函数的概念问题 判断一个函数是否为幂函数,要掌握幂 函数的概念,确定其系数为1,不含常数项, 指数是常数,底数只能为自变量x,而不能是 x 的函数。 例1 若函数f(x)=(m2-4m-4)xm 是幂函数,则m= 。 分析:抓住幂函数的概念,借助系数为1 建立含有相应参数的方程,通过解方程来确 定相应的参数值。 解:因为函数f(x)是幂函数,所以m2- 4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或 m=-1。答案为5或-1。 一个函数为幂函数的依 据是该函数为y=xα(α 为常 数)的形式,同时满足三个条件:指数为常数, 底数为自变量,xα 系数为1。如函数 y= (3x)α,y=2xα,y=xα+5都不是幂函数。 二、幂函数的图像及应用问题 要熟练掌握幂指数在α>1、α=1、0< α<1、α=0,以及α<0情况下幂函数y=xα 的图像特征,由此可以判断对应的函数图像 和简单的应用问题。 例2 图1是幂函数y=xm 与y=xn 在 第一象限内的图像,则( )。 A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 图1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 分析:先利用幂函数 y=xα(α为常数)在第一 象限内的图像变化规律, 结合区间(0,1)内的取值 进行比较,再判断对应幂指数的参数的取值 情况。 解:(方法1)由图知,y=xm 在[0,+∞) 上是增函数,y=xn 在(0,+∞)上是减函数, 所以m>0,n<0。又当x>1时,y=xm 的 图像在y=x 的下方,y=xn 的图像在y= x-1 的下方,所以m<1,n<-1。综上可知, 0<m<1,n<-1。应选B。 (方法2)在区间(0,1)内作直线x=x0, 与两个图像都有交点(作法略)。根据“点低 指数大”的图像特征,可得0<m<1,n< -1。应选B。 依据图像高低判断幂指 数大小 的 相 关 结 论:在 区 间 (0,1)内,幂指数越大,幂函数的图像越靠近 x 轴(简记为“指大图低”);在区间(1,+∞) 内,幂指数越大,幂函数的图像越远离x 轴 (简记为“指大图高”)。由图像确定幂指数α 与0,1的大小关系,可根据幂函数在第一象 限内的图像(类似于y=x-1,y=x 1 2 或y= x3 等)来判断。 三、幂函数的比较大小问题 借助幂指数的相关取值情况及所对应的 幂函数的单调性,可判断相关代数式的大小 关系。 例3 比较下列各组数中两个数的大小 关系。 (1)a= 12 2 3,b= 15 2 3。 73 创新题追根溯源 高一数学 2023年10月 {#{QQABJYAQogCAAhAAAQhCUwEgCEEQkBEAACoGRBAIsAAAQQNABAA=}#} (2)a= - 2 3 -13,b= - 3 5 -13。 分析:利用所比较的代数式的结构特征, 结合相应的幂函数及对应的单调性,在相应 的区间上比较大小。 解:(1)因为幂函数y=x 2 3 在区间(0, +∞)上是增函数,又 1 2> 1 5>0 ,所以a= 1 2 2 3 >b= 15 2 3,即a>b。 (2)因为幂函数y=x -13在区间(-∞,0) 上是减函数,又- 2 3<- 3 5<0 ,所以a= - 2 3 -13 >b= - 3 5 -13,即a>b。 比较幂值大小的两种常 用的基本方法:直接法,当幂 指数相同时,利用幂函数的单调性进行比较; 转化法,当幂指数不相同时,先转化为相同的 幂指数,再利用单调性进行比较。 四、幂函数的综合应用问题 对于幂函数的综合应用问题,可利用相 应的数学知识与相关的数学思维,结合幂函 数的性质进行分析与处理。 例4 已知幂函数f(x)=x-k 2+k+2(k∈ Z)在区间(0,+∞)上为增函数。 (1)求整数k的值。 (2)是否存在正数p,使函数g(x)=1- pf(x)+(2p-1)x 在区间[-1,2]上的值域 为 -4, 17 8 ? 若存在,求出正数p 的值;若 不存在,说明理由。 分析:利用幂函数在区间(0,+∞)上为 增函数,确定幂指数α>0,结合二次不等式 的求解和参数k∈Z,确定整数k 的值;由幂 函数f(x)的解析式,得到函数g(x)的解析 式,通过配方法处理,再结合分类讨论确定正 数p 的存在情况。 解:(1)由幂函数f(x)在区间(0,+∞) 上为增函数,可得-k2+k+2>0,即k2- k-2<0,解得-1<k<2。因为k