18 如何解答函数单调性的热点问题-《中学生数理化》高一数学2023年10月刊

■孙海燕 函数的单调性是函数的重要性质,解答函 数问题,离不开函数的单调性的应用。下面就 函数单调性的热点问题进行举例分析,供大家 学习与参考。 一、求函数的单调区间 求函数单调区间的两种方法:一是利用 基本初等函数的单调性;二是利用函数的图 像,观察增减区间。求单调区间时,不连续的 单调区间必须分开写,不能用“∪”符号连接; 求函数的单调区间不能忽略函数的定义域, 单调区间应是定义域的子集。 例1 求下列函数的单调区间,并指出 该函数在其单调区间上是增函数还是减函 数。 (1)函数f(x)= 2x+1,x≥1, 5-x,x<1。 (2)函数f(x)=-x2+2|x|+3。 (1)当x≥1时,f(x)是增 函数,当x<1时,f(x)是减函 数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1, +∞),且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数, 在[1,+∞)上是增函数。 (2)由 题 意 得 函 数 f (x)= -x2+2x+3,x≥0, -x2-2x+3,x<0。 当x≥0时,f(x)= -(x-1)2+4,其图像的开口向下,对称轴为 x=1,顶 点 坐 标 为(1,4),且 f(3)=0, f(0)=3;当x<0时,f(x)=-(x+1)2+ 4,其图像的开口向下,对称轴为x=-1,顶 点坐标为(-1,4),且f(-3)=0。画出函数 f(x)的图像,如图1所示。 图1 由图可知,此函数在(-∞,-1],[0,1] 上单调递增,在[-1,0],[1,+∞)上单调 递减。 评析:一次函数的单调性看一次项系数 的正负就可以判断;含有绝对值的函数,可先 根据绝对值的意义,将其转化为分段函数,再 结合图像即可确定单调区间及单调性。 二、利用函数的单调性求参数的取值范围 函数单调性应用的关注点:函数单调性 的定义具有“双向性”,利用函数单调性的定 义可以判断或证明函数的单调性,反过来,若 已知函数的单调性,可以确定参数的取值范 围。利用函数的单调性可以比较函数值或自 变量的大小。若一个函数在区间[a,b]上是 单调的,则此函数在区间[a,b]内的任意子集 上也是单调的。 例 2 已 知 函 数 f (x ) = (a-2)x-1,x≤1, x+2,x>1, 且f(x)在(-∞,+∞) 上单调递增,则实数a的取值范围是( )。 A.(2,6] B.(-∞,6] C.(2,+∞) D.[2,6) 设g(x)=(a-2)x-1, h(x)=x+2。因为函数f(x) 在(-∞,+∞)上单调递增,所以a-2>0, 即当a>2时,g(x)=(a-2)x-1在(-∞, 1]上单调递增。 因为函数h(x)=x+2在(1,+∞)上也 单调递增,所以h(x)>h(1)=3。已知函数 f(x)= (a-2)x-1,x≤1, x+2,x>1 在(-∞,+∞) 53 创新题追根溯源 高一数学 2023年10月 {#{QQABLYAUggigAgBAAAgCUwVQCEEQkBGACKoGBAAEoAAAgQNABAA=}#} 上单调递增,画出此函数的大致图像,如图2 图2 所示。由图可知,需满 足g(1)≤h(1),即a- 3≤3,所以a≤6。 综上 可 得,实 数 a 的取值范围是2<a≤6。 应选A。 评析:利 用 函 数 的 单调性,求含参数的分 段函数应抓住两点:一 是严格遵循函数单调性的定义;二是结合函 数图像求出参数的限制条件,也就是关于参 数的不等式。 三、利用函数的单调性解不等式 利用函数的单调性解不等式,一定要注 意函数的定义域,也就是要先考虑函数的定 义域,否则容易出现错解。 例3 已知函数f(x)是增函数,定义域 为(0,+∞),且f(4)=2,f(xy)=f(x)+ f(y),求满足f(x)+f(x-3)≤2的x 取值 范围。 因为f(x)+f(x-3)≤2, 又f(xy)=f(x)+f(y),所以 f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。 又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所 以x(x-3)≤4。 已知函数f(x)是增函数,定义域为(0, +∞),要使不等式f(x)+f(x-3)≤2成 立,需 满 足 x>0, x-3>0, x(x-3)>0, x(x-3)≤4。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 由 此 解 得 x>0, x>3, x<0或x>3, -1≤x≤4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 所以3<x≤4。故所求x 的 取值范围是3<x≤4,即x∈(3,4]。 评析:函数的单调性是相对于函数定义 域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映 了函数在某个区间上函数值的变化趋势。在 利用函数的单调性解决问题(本题是利用函 数的